预习10复数的概念（六大考点）-2024年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

预习10复数的概念 一、数系的扩充及复数的有关概念 1.复数的有关概念 （1）复数的定义:形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,且. （2）复数集:全体复数构成的集合叫做复数集. （3）复数的表示:,其中叫做复数的实部,叫做复数的虚部. 2.数系的扩充 3.复数相等 若,则复数与相等的充要条件是且. 4.复数的分类 （1）对于复数,当且仅当时,它是实数;当且仅当时,它是实数0;当时,它叫做虚数;当且时,它叫做纯虚数. 这样,复数可以分类如下: 二、复数的几何意义 1.复平面 （1）定义:建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面. （2）实轴:在复平面内,轴叫做实轴,单位是1,实轴上的点都表示实数. （3）虚轴:在复平面内,轴叫做虚轴,单位是,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. （4）原点:原点表示实数0. 2.复数的几何意义 （1）复数一一对应复平面内的点. （2）复数一一对应平面向量. 3.复数的模 向量的模叫做复数的模或绝对值,记作或,即. 如果,那么是一个实数,它的模就等于 4.共轭复数 （1）定义:一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共复数也叫做共轭虚数. （2）表示：复数的共轭复数表示为,即若,则. （3）性质:①两个共轭复数的对应点关于实轴对称；②实数的共轭复数是它本身,即. 利用这个性质,可以证明一个复数是实数. 考点01复数的有关概念 【方法点拨】（1）若,只有当时,才是的实部,才是的虚部,且注意虚部不是,而是；（2）不要将复数与虚数的概念混淆,实数也是复数,实数和虚数是复数的两大构成部分. 【例1】若复数，则复数的虚部为（    ） A．5 B．-5 C．5 D．-5 【例2】下列命题中是假命题的是（    ） A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集 C．实数集与虚数集的交集是{0} D．纯虚数集与实数集的交集为空集 【变式1-1】如果则实数m的值为 ． 【变式1-2】复数，则（    ） A．的实部为 B．的虚部为 C．的实部为 D．的虚部为 【变式1-3】复数，，－1，，0，中虚数的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点02复数的分类 【方法点拨】判断一个复数在什么情况下是实数、虚数或者纯虚数,应首先保证复数的实部、虚部均有意义.其次根据分类的标准,列出实部、虚部应满足的关系式再求解. 【例3】“复数为纯虚数”是“”的（    ） A．必要非充分条件 B．充分非必要条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【例4】实数m取什么值时，复数是： (1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？ 【变式2-1】已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【变式2-2】已知复数，当实数m取 时，复数是实数，当实数m取 时，复数是纯虚数， 【变式2-3】已知复数（其中为虚数单位）为纯虚数，写出关于复数的一个正确结论： . 考点03复数相等 【方法点拨】解决复数相等问题的步骤:分别分离出两个复数的实部和虚部,利用实部与实部相等、虚部与虚部相等列方程(组)求解. 【例5】若，，则复数等于（    ） A． B． C． D． 【例6】定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值分别为 【变式3-1】若，其中是虚数单位，则 ． 【变式3-2】已知为虚数单位，，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（1）若，则实数的值为多少？ （2）若，且，则实数的值分别为多少？ 考点04复数与复平面内点的关系 【方法点拨】利用复数与点的对应解题的步骤 （1）找对应关系:复数的几何表示法即复数可以用复平面内的点来表示,是解决此类问题的根据. （2）列出方程:此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解. 【例7】复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．实部不为零的虚数 D．纯虚数 【例8】若复数，其中，则复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-1】“”是“复数在复平面内对应的点位于第四象限”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数的取值集合为 . 【变式4-3】在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 考点05复数与复平面内向量的