专题3-3 平面向量及其应用（讲义）-【高频考点解密】2024年高考数学二轮复习高频考点追踪与预测（上海专用）

专题3-3 平面向量及其应用 01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧） 02考情分析·解密高考 03高频考点·以考定法（两大命题方向+6道高考预测试题，高考必考·（4-9）分） 考点一 平面向量数量积 · 命题点1 平面向量数量积运算 · 命题点2 平面向量数量积的性质及运算 · 高考猜题 考点二 平面向量的坐标运算 · 命题点 平面向量的坐标运算 · 高考猜题 04创新好题·分层训练（ 精选19道最新名校模拟试题+17道易错提升） 真题多维细目表 考点 考向 考题 平面向量数量积 平面向量数量积运算 平面向量数量积的性质及运算 2023年秋考第2题 2023年春考第12题 2022年秋考第11题 2022年春考第10题 平面向量的坐标运算 平面向量的坐标运算 2023年春考第2题 考点一 平面向量数量积 命题点1 平面向量数量积的运算 典例 （2023•上海）已知向量，，则　　． 命题点2 平面向量数量积的性质及运算 典例01 （2022•上海）若平面向量，且满足，，，则　　． 典例02 （2022•上海）在中，，，点为边的中点，点在边上，则的最小值为 　　． 典例03 （2023•上海）已知、、为空间中三组单位向量，且、，与夹角为，点为空间任意一点，且，满足，则最大值为 　　 ． 考点二 平面向量的坐标运算 命题点 平面向量的坐标运算 典例 （2023•上海）已知向量，，则　　 ． （★精选19道最新名校模拟考试题+17道易错提升） A·新题速递 一、单选题 1．（2023·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）如图直线l以及三个不同的点A，，O，其中，设，，直线l的一个方向向量的单位向量是，下列关于向量运算的方程甲：，乙：，其中是否可以作为A，关于直线l对称的充要条件的方程（组），下列说法正确的是（    ）    A．甲乙都可以 B．甲可以，乙不可以 C．甲不可以，乙可以 D．甲乙都不可以 2．（2022·上海·上海中学校考模拟预测）如图，、是以为直径的圆上的两点，其中，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3．（2023·上海普陀·曹杨二中校考模拟预测）已知点为的外心，且，则为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 4．（2023·上海虹口·华东师范大学第一附属中学校考三模）设是两个非零向量的夹角，若对任意实数t，的最小值为1．命题p：若确定，则唯一确定；命题q：若确定，则唯一确定．下列说法正确的是（    ） A．命题p是真命题，命题q是假命题 B．命题p是假命题，命题q是真命题 C．命题p和命题q都是真命题 D．命题p和命题q都是假命题 二、填空题 5．（2023·上海杨浦·复旦附中校考模拟预测）若向量与不共线也不垂直， 且， 则向量夹角 . 6．（2023·上海宝山·统考一模）已知平面向量、满足，，则在方向上的数量投影的最小值是 . 7．（2022·上海虹口·统考二模）已知向量，满足，，，则 . 8．（2023·上海嘉定·统考二模）是边长为1的等边三角形，点M为边AB的中点，则 ． 9．（2023·上海浦东新·统考二模）已知边长为2的菱形中，，P、Q是菱形内切圆上的两个动点，且，则的最大值是 ． 10．（2023·上海静安·统考二模）已知向量，且，的夹角为，，则在方向上的投影向量等于 . 11．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知平面向量满足，则的取值范围是 . 12．（2023·上海闵行·上海市七宝中学校考二模）已知单位向量，若对任意实数，恒成立，则向量的夹角的最小值为 . 13．（2023·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）函数沿着向量平移后得到函数，则向量的坐标是 . 14．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考三模）在直角坐标平面内，横，纵坐标均为整数的点称为整点，点P从原点出发，在直角坐标平面内跳跃行进，每次跳跃的长度都是5且落在整点处.则点P到达点所跳跃次数的最小值是 . 15．（2023·上海杨浦·同济大学第一附属中学校考三模）对任意两个非零的平面向量和，定义，若平面向量、满足，与的夹角，且和都在集合中，则 16．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知是同一个平面上的向量，若，且，则 . 17．（2023·上海松江·统考二模）已知点是平面直角坐标系中关于轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为 ． 18．（2