8.6空间中垂直关系的证明一题一课学案-2023-2024学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

“问题——核心——本质”一题一课学案 姓名 班级 空间中垂直关系的证明 问题1 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD . 请证明： （1）PA⊥CD； 设计意图：复习线面垂直的性质 （2）CD⊥平面PAD； 设计意图：复习线面垂直的判定 AB⊥平面PAD； 设计意图：1、复习垂直关系中的重要结论（若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面）. 2、复习直线与平面垂直的一条性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （3）平面PBC⊥平面PAB. 设计意图：复习面面垂直的判定 问题2 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD. E、F分别为PD、BC的中点. 证明：EF⊥AD法3：证EF⊥AD转化为证 AD⊥平面PAB（将EF平移至BG） 法2：证EF⊥AD转化为证AD⊥平面EFK（将AD平移至BC） 法1：证EF⊥AD转化为证 AD⊥平面EFH（无需平移） 设计意图：证明空间中两条直线垂直，思路1：证“线⊥线”，可转化为证“线⊥面”，在寻找“面”时，法1、2直接从其中一条直线入手，构造“面”，法3间接构造了“面”. 思路2：将两条直线平移至共面，转化为平面中两条直线垂直问题，就是法4. 设计意图： 1、法4对于大部分学生可能有困难，教师要作适当引导：证EF⊥AD转化为证EF⊥BC（空间中“线⊥线”转化为平面内“线⊥线”），由点F为中点可知，△EBC必为等腰三角形，因而可证EB=EC，只需证三角形全等即可. 2、通过法4教会学生逆推思想，那么在寻求“线⊥面”中的“面”时，自然也可以使用逆推思想，进而引出变式1、2. 变式1 如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，BC=2AB . 证明：PB⊥AC 设计意图：1、逆推思想的运用：易知AC⊥PA，若AC⊥PA，则AC⊥平面PAB，故只需证AC⊥AB. 2、平面内证明“线⊥线”的一种方法借助勾股定理的逆定理. 问题3 如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA=AD，平面PAD⊥平面ABCD. E为PD的中点，F为CD上的动点，问：平面AEF⊥平面PCD吗？ 设计意图：1、逆推思想的运用. 2、平面内证明“线⊥线”的一种方法借助等腰三角形三线合一. 3、将“线⊥线”“线⊥面”“面⊥面”三者完满融合在一起，包括性质定理和判定定理. 变式2 如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：BC⊥平面PAB. 设计意图：1、逆推思想的运用. 2、“线⊥线”“线⊥面”“面⊥面”三者完满融合. 3、面面垂直得到线面垂直时，需要作出垂线. 问题4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，平面PAD⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AB=2，AP=4，PC=. 求证：平面PAB⊥平面ABCD. 设计意图：在证明线线垂直时，要注重勾股定理逆定理的运用. 有一个内角为60°的菱形，那就有等边三角形的存在，根据三线合一就能得到线线垂直. 问题5 在三棱锥D-ABC中，△ABC为等边三角形，△DAC为直角三角形，且AD=CD，请同学们加上一个条件，使得平面DAC⊥平面BAC. 设计意图：要得到面面垂直，找交线AC，寻找线面垂直，想到找到AC的中点，再结合勾股定理逆定理从而找到解题思路. 小结：空间中三种垂直关系：线⊥线（关键）线⊥面（桥梁与核心）面⊥面 作业 1. 在平行六面体中，，. 求证：平面⊥平面. 2. 在平行四边形ABCM中，∠ACM=90°，以AC为折痕将△ACM折起， 使点M到达点D的位置，且AB⊥DA . 求证：平面ACD⊥平面ABC. 3. 如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，平面PAB⊥平面PBC. 求证：平面ABC⊥平面PAB. 学科网（北京）股份有限公司 $$