1.4.2用空间向量研究夹角问题课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

用空间向量研究距离、夹角问题 环节二 用向量方法研究夹角问题 引入新课 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中所涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题； （3）把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论. 2 课堂探究 例2：如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC、AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？ 答案：（化为向量问题）两条异面直线所成的角，转化为两条异面直线方向向量 与 的夹角的余弦值，借助数量积进行求解. 直线与直线所成角 课堂探究 追问1：向量与的夹角与直线AM和CN夹角的联系？ 答案： ，又两直线的夹角为锐角，所以 例2：如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC、AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 直线与直线所成角 课堂探究 追问2：如何表示向量与使我们方便计算它们的夹角？ 方法2 建立空间直角坐标系 方法1 选择空间的一个基底 例2：如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC、AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 直线与直线所成角 课堂探究 例2：如图，在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC、AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值. 直线与直线所成角 追问3:你能否通过向量运算，求出向量与夹角的余弦值，进而求出直线AM和CN夹角的余弦值. 课堂探究 追问4：你能归纳出利用向量求空间直线与直线所成角的一般方法吗？ 课堂探究 化为向量问题 进行向量运算 回到图形问题       课堂探究 直线与平面所成角 问题2：斜线与平面所成的角的定义是什么？ 答案：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角；一条直线垂直于平面，它们所成的角是90o；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0o.直线与平面所成角的范围: 已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角. 课堂探究 直线与平面所成角 追问：你能根据定义做出线面角吗？ 已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角. 答案：过直线上一点A，做平面α的垂线交平面α于点C，联接BC，∠ABC即为直线AB与平面α所成的角. 课堂探究 直线与平面所成角 问题3：这个问题的已知条件是什么？如何将几何问题 转化为向量问题？ 已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角. 答案：已知一条直线和一个平面，我们用一个点和方向向量表示直线，用一个点和法向量表示平面.因此，我们借助直线AB的方向向量u与平面α的法向量n的夹角<u,n>表示直线AB与平面α所成的角的大小. 课堂探究 直线与平面所成角 追问：如何借助直线的方向向量u与平面的法向量n求直线和平面的夹角？ 已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角. 课堂探究 直线与平面所成角 小结： 已知直线AB与平面α相交与点B，求直线AB与平面α所成的角. 课堂探究 两相交平面所成角 问题4:类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为合理定义两个平面所成的角？ 答案：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角. 追问1：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别与联系吗？ 答案：二面角的大小是指其两个半平面的张开程度，可以用其平面角的大小来定义，它的取值范围是 ；而平面与平面的夹角是指平面与平面相交，形成的四个二面角中不大于90o的二面角，它的取值范围是 . 课堂探究 两相交平面所成角 追问2：角度是度量方向差异的量，那么决定平面方向的是什么？ 答案：在空间向量里，通过一个点和法向量可以确定唯一的平面. 问题4:类比已有的直线、平面所成角的定义，你认为合理定义两个平面所成的角？ 追问1：你能说说平面与平面的夹角与二面角的区别与联系吗？ 课堂探究 两相交平面所成角 问题5：两个平面的法向量夹角与两个面夹角的关系？ 答案：若平面与平面的法向量为n1，n2，则平面与平面的夹角即为向量为n1,n2的夹角或其补角. 课堂探究 两相交平面所成角 追问：为何向量夹角余弦值的绝对值为两个平面夹角的余弦值？ 问题6：如何借助平面与平面的法向量为n1,n2求