第26章用反比例函数比例系数k的几何意义解与面积相关的应用专训课件 2023-2024学年人教版九年级数学下册

用反比例函数比例系数k的几何意义 解与面积相关的应用专训 第26章 反比例函数 1 2 (1)求反比例函数和一次函数的解析式； 3 5 【点方法】 当反比例函数图象中的几何图形的面积无法直接求出时，可将其转化为与比例系数k相关的矩形或直角三角形的面积，通过面积的和或差进行计算． 2 (1)求反比例函数和正比例函数的解析式； (2)若y轴上有一点C(0，n)，△ABC的面积为4，求点C的坐标. 3 【点拨】 4 (1)求反比例函数与一次函数的解析式； 【点方法】 一次函数与反比例函数常常放在一起考查，所以要牢牢掌握它们各自的性质与图象特征，综合考虑，解题时要关注两种函数图象的交点. 5 (1)求m的值和一次函数的解析式； 【解】对于y＝x＋3，当y＝0时，x＝－3， ∴B(－3，0)，∴OB＝3. ∵C(0，3)，∴OC＝3. 如图，过点A作AH⊥y轴于点H， 过点P作PD⊥x轴于点D，则AH＝1. 6 23 (1)求反比例函数的解析式； 24 (2)求图中阴影部分的面积. 25 ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A(1，2)， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(2，2)， ∴大正方形的面积为4×22＝16， ∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝16－8＝8. 7 8 (1)求直线AB的解析式和反比例函数的解析式； (2)求△ABC的面积. 如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝mx＋n的图象相交于A(a，－1)，B(－1，3)两点. 【解】∵反比例函数y＝的图象与一次函数 y＝mx＋n的图象相交于A(a，－1)，B(－1，3)两点， ∴k＝－1×3＝a×(－1)，∴k＝－3，a＝3， ∴点A的坐标为(3，－1)，反比例函数的解析式为 y＝－. 将A，B两点的坐标代入y＝mx＋n， 得解得 ∴一次函数的解析式为y＝－x＋2. (2)设直线AB交y轴于点C，点N(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，过点N作NM⊥x轴交反比例函数y＝的图象于点M，连接CN，OM.若S四边形COMN>3，求t的取值范围. 【解】∵直线AB交y轴于点C，∴点C(0，2)， ∴S四边形COMN＝S△OMN＋S△OCN＝＋×2×t. ∵S四边形COMN>3，∴＋×2×t>3，∴t＞. [2023·岳阳]如图，反比例函数y＝(k为常数，k≠0)与正比例函数y＝mx(m为常数，m≠0)的图象交于A(1，2)，B两点. 【解】将点A(1，2)的坐标代入y＝，得k＝2， ∴反比例函数的解析式为y＝. 将点A(1，2)的坐标代入y＝mx，得m＝2， ∴正比例函数的解析式为y＝2x. 【解】解方程组得 ∴点B的坐标为(－1，－2)． 如图，过点A，B分别作y轴 的垂线，垂足分别为E，F， ∵A(1，2)，B(－1，－2)，C(0，n)， ∴AE＝BF＝1，OC＝|n|. ∵S△ABC＝S△AOC＋S△BOC＝4， ∴OC·AE＋OC·BF＝4， 即|n|×1＋|n|×1＝8，∴|n|＝4，∴n＝±4， ∴点C的坐标为(0，4)或(0，－4)． [2023·长沙]如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数y＝(k为常数，k＞0，x＞0)的 图象上，过点A作x轴的垂线，垂足 为B，连接OA．若△OAB的面积为， 则k＝________. 由k的几何意义可得＝，所以k＝. 如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A，B，与x轴交于点C(5，0)，若OC＝AC，且S△OAC＝10. 【解】如图，过A作AE⊥x轴于E. ∵C(5，0)，OC＝AC， ∴OC＝AC＝5. ∵S△AOC＝10， ∴×5×AE＝10， ∴AE＝4. 在Rt△ACE中，CE＝＝3， ∴OE＝8，∴A(8，4)，∴k＝4×8＝32， ∴反比例函数的解析式为y＝. 将A和C的坐标代入一次函数解析式中， 得解得 ∴一次函数的解析式为y＝x－. (2)请直接写出不等式ax＋b>的解集. 【解】不等式ax＋b＞的解集为x>8或－3<x<0. [2023·乐山]如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A(m，4)，与x轴交于点B，与y轴交于点C(0，3). 【解】∵点A(m，4)在反比例函数y＝的图象上， ∴4＝，∴m＝1，∴A(1，4)． 又∵点A(1，4)，C(0，3)都在一次函数y＝kx＋b的图象上，∴解得 ∴一次函数的解析式为y＝x＋3. (2)已知P为反比例函数y＝图象上的一点，S△OBP＝2S△OAC，求点P的坐标. ∵S△OBP＝2S△OAC，∴OB·PD＝2×OC·AH， 即×3×PD＝2××3×1，解得PD＝2， ∴点P的纵坐标为2或－2， 将y＝2代入y＝，得x＝2， 将y＝－2代入y＝，得x＝－2，