2.2 基本不等式（第一课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式第一课时 人教版A版（2019） 第24届“国际数学家大会”会标 学习目标 1.掌握基本不等式及其结构特点. 2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. a b 重要不等式 基本不等式 当且仅当a =b时，等号成立. 我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 代数意义：两个正数的算术平均数不小于它们的 几何平均数. 探究几何意义 O A B C D a b 如图,AB是圆的直径，C是AB上与A、B不重合的一点，AC=a,CB=b,过点C作垂直于AB的弦DE，连AD,BD, 则OD=＿＿,CD=＿＿＿＿ Rt△ACD∽Rt△DCB， 几何意义：半径不小于 弦长的一半 作差法： 当且仅当a=b时，等号成立 利用基本不等式求最值 ∵a＞0，b＞0 ∴a+b≥12，当且仅当a=b=6时，等号成立 ∴a+b的最小值为12. 当且仅当a=b=9时，等号成立 故ab的最大值为81 利用基本不等式求积的最大值或求和的最小值时，需满足 (1)a，b必须是正数.（一正） (2)在a+b为定值时，便可以知道ab的最大值； 在ab为定值时，便可以知道a+b的最小值. （二定） (3)当且仅当a=b时，等式成立（三相等） 应用 已知x<0,求函数 的最大值 x<0，-x>0, -x+ ≥ 2, ∴x+ ≤ -2 1 -x 1 x 当且仅当-x= ,即x= -1 时取得最大值-2 1 -x 利用基本不等式求最值，首先要满足“一正” 应用 求函数 f(x)= x + (x＞ 1) 的最小值. 1 x-1 解: ∵ x＞1，∴x-1>0. ∴ f(x)=x + 1 x-1 =(x -1)+ +1 1 x-1 =3， ≥2 (x-1)∙ +1 1 x-1 当且仅当 取“=”号. ∴当 x=2 时， 函数 f(x) 的最小值是 3. x-1= ，即 x =2 时， 1 x-1 利用基本不等式求最值，其次要满足“二定” 应用 利用基本不等式求最值的条件： 一正、二定、三相等。 利用基本不等式求最值，最后要满足“三相等” 例2 已知x，y都是正数，求证： （1）如果积xy等于定值P，那么当时，和有最小值； （2）如果和等于定值S，那么当时，积xy有最大值. 证明：因为x，y都是正数，所以. （1）当积xy等于定值P时，，所以. 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，和有最小值. （2）当和等于定值S时，，所以， 当且仅当时，上式等号成立.于是，当时，积xy有最大值. 上题的内容称为最值定理，即 （1）若a,b>0，当时，，，当且仅当时等号成立. （2）若a,b>0 当时，，当且仅当时等号成立. 和定积最大，积定和最小. 例3 （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边长分别为x m，y m，篱笆的长度为. （1）由已知得. 由，可得， 所以，当且仅当时，上式等号成立. 故当这个矩形菜园是边长为10 m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40 m. 例3 （1）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ （2）用一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ （2） 设矩形菜园的相邻两条边长分别为x m，y m 由已知得，矩形菜园的面积为. 由，得，当且仅当时，上式等号成立 因此，当这个矩形菜园是边长为9 m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是. 当堂检测 1. 正数x,y满足x+y=20,xy的最大值. 2.当时 ，求 的最小值. 3. 求函数 f(x)=x + (x＞ -1) 的最小值. 课堂小结 1. 两个重要的不等式 2. 利用基本不等式求最值 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P  x+y≥2 P(当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S  xy≤ S2(当且仅当 x=y 时,