13章轴对称 专题突破 构等腰（二） 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破 构等腰（三）截长补短 第十三章 轴对称 专题突破 构等腰（四）二倍角处理 专题突破 等腰三角形与无刻度直尺作图 模型 角平分线+截长 条件 ∠1=∠2 ∠B=2∠C 结论 AC=AB+BD 模型 角平分线+补短 条件 ∠1=∠2 ∠ABC=2∠C 结论 AC=AB+BD 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：BC＝AC＋AD. 证明：过点D作DE⊥BC于点E， ∵AC＝AB，∠BAC＝90°， ∴∠B＝∠ACB＝45°. ∵∠BED＝90°， ∴∠B＝∠BDE＝45°，∴BE＝DE. ∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠ECD. ∵CD＝CD，∠BAC＝∠DEC＝90°，∴△ACD≌△ECD， ∴AC＝EC，AD＝DE＝BE. ∵BC＝EC＋BE，∴BC＝AC＋AD. 2．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝108°，BD平分∠ABC交AC于点D.求证：AB＝AD＋BC. 证明：方法一：(截长法)在AB上截取BE＝BC， 连接DE，△BCD≌△BED， 易求∠AED＝∠ADE＝72°，∴AD＝AE， ∴AB＝BE＋AE＝BC＋AD； 方法二：(补短法)如图，延长BC至点F， 使BF＝AB，连接FD， 只需证AD＝DF＝CF即可． 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，AD⊥BC于点D，且AB＋BD＝DC，求∠C的度数．(用两种方法) 解：方法1：(截长法)在CD上取点E，使DE＝BD， 连接AE，则CE＝AB＝AE， ∴∠B＝∠AED＝∠C＋∠CAE＝2∠C， ∵∠BAC＝135°，∴∠C＝15°； 方法2：(补短法)延长DB至点F，使BF＝AB， 连接AF，则AB＋BD＝DF＝CD， ∵AD⊥BC，∴AF＝AC，∠C＝∠F＝∠ABC，∴∠C＝15°. 注：方法1构造的是等腰△ACE和等腰△ABE， 方法2构造的是等腰△ABF和等腰△ACF. 模型 外构等腰 条件 ∠ABC=2∠C 方法 作DB=AB 结论 AD=AC 模型 内构等腰 条件 ∠ABC=2∠C 方法 作AD=AB 结论 AD=DC 模型 作角分线 条件 ∠ABC=2∠CBE 方法 作BE平分∠ABC 结论 BE=EC 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝2∠B，CD平分∠ACB交AB于点D.求证：AC＋AD＝BC(3种方法). 证明：方法一：延长CA至点E，使EA＝AD，证△CDE≌△CDB即可； 方法二：延长DA至点E，使EA＝AC，证ED＝EC＝BC即可； 方法三：在BC上截取CE＝AC，证AD＝DE＝BE即可． 【点评】方法一，方法二实质是补短法，方法三实质是截长法． 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD⊥BC，垂足为D，若BD＝2，CD＝8，求AB的长(用两种方法). 解：方法一：(截长法)在CD上截取DE＝BD＝2，连接AE. ∵AD⊥BC，∴AB＝AE，∴∠AEB＝∠B＝2∠C. ∵∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠C＝∠EAC， ∴AE＝EC＝CD－DE＝6. ∵AE＝AB，∴AB＝6； 方法二：(延长法)延长DB至点F，使得BF＝AB，连接AF. 则∠F＝∠BAF，∴∠ABC＝∠F＋∠BAF＝2∠F. ∵∠ABC＝2∠C，∴∠F＝∠C，∴AF＝AC. ∵AD⊥BC，∴FD＝DC＝8. ∵BD＝2，∴FB＝FD－BD＝6， ∴AB＝FB＝6. 技巧一　作线段的垂直平分线 1．在5×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．下图中，A，B均为格点，用无刻度的直尺作线段AB的垂直平分线，保留作图痕迹． 技巧二　作对称点 2．在6×5的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．下图中，A，B，C均为格点，用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中，作△ABC关于直线l对称的三角形； (2)如图2，M为AC与网格线的交点，作点M关于直线l的对称点N； (3)如图3，P为BC上一点，作点P关于直线l的对称点E. 技巧三　作45°角 3．在6×6的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．下图中，A，B，C均为格点，用无刻度的直尺完成下列作图． (1)在图1中，在AC上取一点D，使∠ABD＝45°； (2)在图2中，在BC上取一点F，使∠BAF＝45°； (3)如图3，P为BC上与网格线的交点，在AC上取一点E，使∠EPC＝45°. $$