13章 轴对称 专题突破 （45°、60°角的用法） 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破25 45°角的用法 第十三章 轴对称 专题突破 60°角的用法 模型 作垂线构等腰直角三角形 模型 作垂线构旋转全等 模型 作垂线构对称 1．如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为△ABC外一点，连接AD，CD，BD，∠ADC＝45°.求证：AD⊥BD. 证明：过点C作CE⊥CD交DA的延长线于点E， ∴∠DCE＝90°. ∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD. ∵∠ADC＝45°，∴CE＝DC. ∵AC＝BC，∴△ACE≌△BCD，∴∠E＝∠CDB＝45°， ∴∠ADB＝∠ADC＋∠CDB＝90°，∴AD⊥BD. 2．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点． (1)如图1，若CE⊥BD交BD的延长线于点E，连接AE.求证：∠AEB＝45°； 证明：在BE上截取BF＝CE，连接AF. ∵CE⊥BD，∴∠CED＝∠BAC＝90°， ∴∠ACE＋∠CDE＝∠ABF＋∠ADB＝90°， 又∵∠ADB＝∠CDE，∴∠ABF＝∠ACE. 又∵AB＝AC，∴△ABF≌△ACE(SAS)， ∴AF＝AE，∠BAF＝∠CAE， ∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠CAE＝90°，∴∠EAF＝90°. 又∵AF＝AE，∴△AEF为等腰直角三角形， ∴∠AEB＝45°； (2)如图2，若∠AEB＝45°.求证：CE⊥BD； 证明：过点A作AF⊥AE交BE于点F，∵∠AEB＝45°， ∴△AFE为等腰直角三角形， ∴AF＝AE，∠AFE＝∠AEB＝45°. ∵∠BAF＋∠CAF＝∠CAE＋∠CAF＝90°， ∴∠BAF＝∠CAE. ∵AB＝AC，∴△BAF≌△CAE(SAS)， ∴∠BFA＝∠CEA＝135°， ∴∠CED＝90°，∴CE⊥BD； (3)如图3，若∠AEC＝135°.求证：CE⊥BD. 证明：过点A向上作AF⊥AE交CE的延长线于点F， ∵∠AEC＝135°，∴∠AEF＝45°， ∴△AEF为等腰直角三角形，∴AE＝AF. ∵∠BAC＝∠EAF＝90°， ∴∠BAC＋∠CAE＝∠CAE＋∠EAF， ∴∠BAE＝∠CAF. ∵AB＝AC，AE＝AF， ∴△BAE≌△CAF(SAS)， ∴∠BEA＝∠F＝45°， ∴∠CEB＝∠AEC－∠AEB＝90°，∴CE⊥BD. 模型 平行构造等边三角形 条件 DE∥BC，△ABC是等边三角形 结论 △ADE是等边三角形 1.如图，△ABC是等边三角形，点D是AB上一点，点E是BC延长线上一点，DE交AC于点F，DF＝EF.求证：AD＝CE. 证明：方法1：过点D作DG∥BC交AC于点G，构造等边△ADG， ∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠E. 又∵∠GFD＝∠CFE，DF＝EF， ∴△CEF≌△GDF，∴EC＝DG＝AD. 方法2：过点E作EH∥AB交AC的延长线于点H， 构造等边△EHC， 证△FEH≌△FDA(AAS)，∴EH＝AD＝CE. 2．如图，△ABC是等边三角形，点D是AC上一点，延长BC至点E，使CE＝AD.求证：DB＝DE(两种方法). 证明：方法1：过点D作DF∥BC交AB于点F，构造等边△ADF. ∵CE＝AD，∴CE＝DF. ∵AB＝AC，AF＝AD，∴BF＝CD， ∵∠AFD＝∠ACB＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝120°， ∴△BDF≌△DEC，∴DB＝DE. 方法2：过点D作DG∥AB交BC于点G，得等边△DCG，∴CD＝CG， 又∵AC＝BC，∴AD＝BG，再证△DBG≌△DEC即可． 3．如图，△ABC是等边三角形，D是AC的中点，点E在BC的延长线上，点F在AB上，∠EDF＝120°.求证：DE＝DF. 证明：过点D作DM∥BC交AB于点M， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∵DM∥BC， ∴∠AMD＝∠B＝60°， ∠ADM＝∠ACB＝60°， ∴△ADM为等边三角形， ∵AD＝CD， ∴DM＝CD， ∵∠EDF＝∠MDC＝120°， ∴∠MDF＝∠CDE， 又∵∠FMD＝∠ECD＝120°， ∴△DCE≌△DMF(ASA)， ∴DE＝DF. $$