第十三章 轴对称 专题突破 （30°角的用法） 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破 30°角的用法 第十三章 轴对称 专题突破 共顶点的等腰三角形 模型 三个30°的直角三角形 模型 作高构30°的直角三角形 模型 利用15°构含30°的直角三角形 一、连接两点构造30°的直角三角形 1．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，AE＝2.求CE的长． 2．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，DC∥AB，AC平分∠BAD，∠DAB＝30°.求证：AD＝2BC. 证明：过点C作CE⊥AD于点E， ∵AC平分∠BAD，∠DAB＝30°， ∴∠DAC＝∠BAC＝15°. ∵DC∥AB， ∴∠DCA＝∠BAC＝15°， ∴∠CDE＝30°， 二、作垂线构造30°的直角三角形 3．如图，AD是△ABC的中线，AD⊥AB，∠DAC＝30°，求证：AC＝2AB. 证明：过点C作CE⊥AD于点E， ∵BD＝C D，∠ADB＝∠EDC， ∠BAD＝∠CED＝90°， ∴△ABD≌△ECD， ∵∠DAC＝30°， ∴AB＝CE＝AC， ∴AC＝2AB. 三、补形构造30°的直角三角形 4．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝60°，∠BCD＝90°，AB＝5，BC＝4.求AD的长． 解：延长AD，BC交于点E， ∵∠A＝∠B＝60°， ∴∠E＝60°， ∴∠A＝∠B＝∠E， ∴△ABE为等边三角形， ∴AB＝BE＝AE＝5. ∵BC＝4， ∴CE＝1. ∵∠BCD＝90°， ∴∠CDE＝30°， ∴DE＝2CE＝2， ∴AD＝AE－DE＝3. 教材母题►(第83页第12题)如图，△ABD和△ACE都是等边三角形． (1)求证：BE＝CD； 解：(1)∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°， ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， ∴∠BAE＝∠DAC， 在△BAE和△DAC中， ∴△BAE≌△DAC(SAS)，∴BE＝CD； (2)求∠BFC的度数； (3)求证：FA平分∠DFE. (2)由(1)得，∠ABE＝∠ADC， ∠BFC＝∠CDB＋∠DBE ＝∠ADB－∠ADC＋∠ABD＋∠ABE ＝∠ADB＋∠ABD＝120°； (3)过点A作AM⊥BE于点M，作AN⊥CD于点N， 由S△ABE＝S△ACD，BE＝CD得AM＝AN， ∴FA平分∠DFE. 一、共顶点的等边三角形 教材变式1　如图，△ABC和△CDE都为等边三角形，点E在BC上，AE的延长线交BD于点F. (1)求证：AE＝BD； 解：(1)∵△ACB和△CDE是等边三角形， ∴CA＝CB，CE＝CD， ∠ACB＝∠ECD＝60°， △CAE≌△CBD(SAS)， ∴AE＝BD； (2)求∠AFB的度数； (3)求证：FC平分∠AFD. 二、共顶点的等腰三角形 教材变式2　如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，AD，BE交于点H，连接CH. (1)求证：△ACD≌△BCE； (2)求证：HC平分∠AHE. $$