第十三章轴对称专题突破 尺规作图 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破 尺规作图（一）等腰三角形 第十三章 轴对称 专题突破 尺规作图（二）等边三角形 1．如图，在△ABC中，AB＝AC. (1)尺规作图：作边AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若AB＝6，BC＝4，求△BEC的周长． 解：(1)如图； (2)∵DE垂直平分AB，∴BE＝AE， ∴△BEC的周长＝BC＋BE＋CE＝BC＋AE＋CE ＝BC＋AC＝BC＋AB＝4＋6＝10. 2．如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，且AD＝AB＝CD，连接AC. (1)尺规作图：作∠ADC的平分线DE交AC于点E(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的基础上，若AC⊥BC，求证：AC＝2BC. (2) ∵DA＝DC，DE平分∠ADC, ∴AE＝EC，DE⊥AC，∴AC＝2AE. ∵AD⊥AB, AC⊥CB，∴∠AED＝∠DAB＝∠ACB＝90°， ∴∠DAE＋∠BAC＝90°，∠BAC＋∠B＝90°， ∴∠DAE＝∠B. ∵AD＝ BA，∴△ADE≌△BAC (AAS)， ∴BC＝AE，∴AC＝2AE＝2BC. 3．如图，已知锐角∠APB，M是边PB上一点，设∠APB＝α，利用尺规完成下列作图(不写作法，保留作图痕迹). (1)在边PA上作点N，使得∠ANM＝2α； 解：(1)如图1，作PM的垂直平分线交PA于点N， 连接MN，点N即为所求； (2)在(1)的条件下，在边PA上求作点Q，使得∠QMB＝3α，并说明理由． (2)如图2，以点M为圆心，MN为半径画弧， 交PA于另一点Q(异于点N)，连接MQ， 点Q即为所求． ∵MQ＝MN，∴∠MQN＝∠ANM＝2α， ∴∠QMB＝∠P＋∠MQN＝α＋2α＝3α. 4．如图，射线OK的端点O是线段AB的中点，请根据下列要求作答： (1)尺规作图：在射线OK上作点C，D，连接AC，BD，使AC＝BD＞AB； (2)在(1)的条件下，求证：∠ACO＝∠BDO. (2)延长DO至点M，使得OM＝DO，连接AM， ∵点O为线段AB的中点， ∴OA＝OB，∴△AOM≌△BOD(SAS)，∴AM＝BD，∠M＝∠BDO. 又∵AC＝BD，∴AM＝AC，∴∠ACO＝∠M，∴∠ACO＝∠BDO. 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，过点B作BD⊥AC，垂足为点D，且D是边AC的中点． (1)求证：△ABC是等边三角形； 解：(1)∵BD⊥AC，D是边AC的中点， ∴BD是AC的垂直平分线， ∴BA＝BC. ∵AB＝AC，∴AB＝AC＝BC， ∴△ABC是等边三角形； (2)尺规作图：在线段BD上求作点E，使得BE＝2DE(不写作法，保留作图痕迹). (2)如图，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°， 作∠ACB的平分线交BD于点E， 易得∠ECB＝∠EBC＝30°，∴BE＝CE. 根据30°角所对直角边等于斜边一半， 得BE＝CE＝2DE. 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°. (1)尺规作图：作△ABC的高AD，在AD上取点P，连接CP，以点P为圆心，PC长为半径画弧，交BA的延长线于点Q，连接CQ(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，求证：△CPQ为等边三角形． (2)连接BP.∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴AD垂直平分BC，∴PB＝PC＝PQ， ∴∠PBC＝∠PCD，∠PBQ＝∠PQB. 又∵∠ABC＝∠ACB＝30°， ∴∠PBQ＝∠ACP＝∠PQB， ∴∠CPQ＝∠CAQ＝60°. 又∵PC＝PQ，∴△CPQ为等边三角形． 3．如图，△ABC是等边三角形，E是AB边上一点． (1)尺规作图：作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，连接ED，延长ED与直线BC交于点F(保留作图痕迹，不写作法)； (2)在(1)的条件下，若DE⊥AB，当AE＝2时，求BF的长． (2) ∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝60°. ∵DE⊥AB，∴∠AED＝∠BEF＝90°， ∴∠ADE＝∠BFE＝30°， ∴AD＝2AE＝4，BF＝2BE. ∵BD是∠ABC的平分线， ∴AD＝DC＝4，∴AB＝2AD＝8， ∴BE＝AB－AE＝6，∴BF＝2BE＝12. $$