13章 轴对称 专题突破 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破 等腰三角形中求角技巧（一）方程思想 第十三章 轴对称 专题突破 等腰三角形中求角技巧（二）整体思想 专题突破 巧构“三线合一” 1．如图，在△ABC中，点D在BC边上，BD＝DA＝AC，∠BAC＝72°，求∠CAD的度数． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，BD＝BC.若∠ABD＝45°，求∠A的度数． 解：设∠DBC＝x.∵∠ABD＝45°， ∴∠ABC＝∠ABD＋∠DBC＝x＋45°. ∵AB＝AC，BD＝BC， ∴∠C＝∠ABC＝x＋45°，∠BDC＝∠C＝x＋45°. 在△BDC中，∠DBC＋∠BDC＋∠C＝180°， ∴x＋x＋45°＋x＋45°＝180°，解得x＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB＝x＋45°＝75°， ∴∠A＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－75°－75°＝30°. 3．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，点D，E分别在边BC，AC上，且AB＝AD＝DE＝EC.求∠C的度数． 解：设∠C＝x，∵AB＝AD＝DE＝EC， ∴∠EDC＝∠C＝x，∠DAE＝∠AED＝∠EDC＋∠C＝2x. ∠B＝∠ADB＝∠DAE＋∠C＝3x. 在△ABC中，∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴3x＋x＋100°＝180°，解得x＝20°.∴∠C＝20°. 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BD＝BC，BE＝DE＝AD.求∠C的度数． 一、线段垂直平分线转角 1．如图，在△ABC中，AB，AC的垂直平分线相交于点O，若∠BAC＝76°，求∠OBC的度数． 解：设∠OAB＝x，∠OAC＝y，∠OBC＝z. ∵AB，AC的垂直平分线相交于点O，∴OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA＝x，∠OAC＝∠OCA＝y， ∠OBC＝∠OCB＝z，∴∠BAC＝x＋y＝76°. 在△ABC中，有2x＋2y＋2z＝180°， ∴x＋y＋z＝90°，76°＋z＝90°，z＝14°. ∴∠OBC＝14°. 2．如图，O是四边形ABCD内一点，OA＝OB＝OC，∠ABC＝∠ADC＝70°，求∠DAO＋∠DCO的度数． 解：∵OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB， ∴∠OAB＋∠OCB＝∠ABC. ∵∠ABC＝70°， ∴∠AOB＋∠COB＝360°－140°＝220°， ∴∠AOC＝140°. ∵∠D＝70°， ∴∠DAO＋∠DCO＝360°－210°＝150°. 二、等腰三角形转角 3．如图，D，E，F分别为△ABC边上一点，且AD＝AF，BD＝BE. (1)若∠C＝90°，求∠EDF的度数； (2)若∠C＝α，直接写出∠EDF的度数为________. (2)90°－α.∵∠A＋∠B＝180°－α， ∴∠AFD＋∠ADF＋∠BDE＋∠BED＝360°－(180°－α)＝180°＋α. ∵AD＝AF，BD＝BE，∴∠AFD＝∠ADF，∠BDE＝∠BED， ∴∠EDF＝180°－(∠ADF＋∠BDE)＝180°－＝90°－α. 一、等腰＋中点→连中线 1．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O为AB的中点，点E，F分别在AC，BC上，AE＝CF.求∠OEF的度数． 解：连接OC，OF， ∵AC＝BC，OA＝OB， ∴∠ACO＝∠BCO＝∠A＝45°， OA＝OC，CO⊥AB， 又∵AE＝CF， ∴△AEO≌△CFO(SAS)， ∴∠AOE＝∠COF，OE＝OF， ∴OE⊥OF， ∴△OEF为等腰直角三角形， ∴∠OEF＝45°. 2．如图，在△ABC中，AB＝BC，E是AC的中点，ED⊥BC于点D.求证：∠ABC＝2∠DEC. 证明：连接BE. ∵BA＝BC，E为AC的中点， ∴BE⊥AC，∠ABC＝2∠EBC， ∴∠EBC＋∠C＝90°. ∵ED⊥BC，∴∠DEC＋∠C＝90°， ∴∠EBC＝∠DEC， ∴∠ABC＝2∠DEC. 二、等腰→作底边上的高 3．如图，在等腰△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在AB上，AD＝AC，BE⊥CD于点E，求证：CD＝2BE. 证明：过点A作AF⊥CD于点F， ∵AC＝AD，∴CF＝DF， ∵∠CAF＋∠ACF＝∠BCE＋∠ACF＝90°， ∴∠CAF＝∠BCE， ∵AC＝BC，∠AFC＝∠E＝90°， ∴△ACF≌△CBE(AAS)， ∴CF＝BE， ∴CD＝2CF＝2BE. 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，E在AB上，CB＝CE.求证：BE＝2CD. 解：过点C作CF⊥BE于点F， ∵CB＝CE，∴BF＝EF. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. 又∵∠CFB＝∠BDC＝90°，BC＝CB， ∴△BFC≌△CDB， ∴CD＝BF，∴BE＝2