第12章 全等三角形 专题突破（构全等1） 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破 构全等（一）连接与延长 第十二章 全等三角形 专题突破 构全等（二）中点模型 一、连线构全等 (一)一分为二连公共边构造全等 1．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.求证：∠A＝∠C. 证明：连接BD. ∵AB＝CD，AD＝BC，BD＝DB， ∴△ABD≌△CDB(SSS)， ∴∠A＝∠C. (二)同侧连公共边构造全等 2．如图，AB，CD交于点O，AB＝CD，AC＝BD.求证：OC＝OB. 证明：连接BC. ∵AB＝DC，AC＝DB，CB＝BC， ∴△ABC≌△DCB(SSS)， ∴∠A＝∠D， ∵∠AOC＝∠DOB， ∴△AOC≌△DOB(AAS)， ∴OC＝OB. 二、延长构全等 (一)直接延长构造全等 3．如图，AC＝BD，∠BAC＝∠BDC＝90°.求证：AB＝CD. 证明：方法1：延长BA，CD交于点E. ∵∠BAC＝∠BDC＝90°， ∴∠EAC＝∠EDB＝90°， ∵∠E＝∠E，AC＝BD， ∴△EBD≌△ECA(AAS)， ∴BE＝CE，AE＝DE， ∴AB＝CD； 方法2：连接BC. 证Rt△ABC≌Rt△DCB(HL)， 可得AB＝CD. (二)连接并延长构造全等 4．如图，AB∥CD，AB＋BC＝CD，E为AD的中点，连接CE.求证：CE平分∠BCD. 证明：连接BE并延长，交CD于点F. ∵E为AD的中点， ∴AE＝DE， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠D， 又∵∠AEB＝∠DEF， ∴△AEB≌△DEF(ASA)， ∴AB＝DF，BE＝FE， ∵AB＋BC＝CD＝CF＋DF， ∴BC＝CF， ∴△BCE≌△FCE(SSS)， ∴∠BCE＝∠FCE， ∴CE平分∠BCD. 模型1： SA →SAS（中线倍长） 如图，若OA=OC，OB=OD，则△AOB≌△COD（SAS） 1.如图，在△ABC中，D是边BC上的中点． (1)求证：AB＋AC＞2AD； (2)若AB＝5，AC＝7，直接写出AD的取值范围为 . 解：(1)延长AD至点E，使DE＝AD， 连接BE，则△ADC≌△EDB(SAS)， ∴BE＝AC，∴AB＋BE>AE，∴AB＋AC>2AD； (2)∵BE－AB＜AE＜BE＋AB， ∴7－5＜2AD＜7＋5，∴1＜AD＜6. 2．如图，CE是△ACD的中线，点B在AD的延长线上，BD＝AC，∠ACD＝∠ADC，求证：CE＝BC.　　 证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连接DF，∴△CAE≌△FDE， ∴AC＝DF＝BD，∠A＝∠EDF， 又∵∠ACD＝∠ADC，∠CDB＝∠A＋∠ACD，∠CDF＝∠ADC＋∠EDF， ∴∠CDF＝∠CDB，又CD＝CD， ∴△CFD≌△CBD(SAS)， ∴BC＝CF＝2CE，∴CE＝BC. 模型2： SA →SAS（作垂直） 如图，若OA=OB，BC⊥CD，AD⊥CD，则△AOD≌△BOC（SAS） 3.如图，AB＝BC，E为BC上一点，∠DAE＝∠B＝90°，CD交AB于点F，F为CD的中点，求证：AD＝AE. 证明：过点D作DH⊥AB于点H. ∴∠DHF＝∠B＝90°， ∵F为CD的中点，∴DF＝CF， 又∵∠DFH＝∠CFB， ∴△DFH≌△CFB(AAS)，∴DH＝BC＝AB， ∵∠DHA＝∠B＝∠DAE＝90°， ∴∠ADH＋∠DAH＝∠DAH＋∠BAE， ∴∠BAE＝∠ADH，∴△ADH≌△EAB(ASA)， ∴AD＝AE. 4．如图，A，B，C三点共线，D，C，E三点共线，∠A＝∠DBC，EF⊥AC于点F，AE＝BD. (1)求证：C是DE的中点； 证明：(1)过点D作DG⊥AC，交AC的延长线于点G， ∴∠AFE＝∠G＝90°， 又∵∠A＝∠DBG，AE＝BD， ∴△AEF≌△BDG(AAS)，∴EF＝DG， 又∵∠G＝∠EFC＝90°，∠DCG＝∠ECF， ∴△DCG≌△ECF(AAS)， ∴CD＝CE，∴C是DE的中点； (2)求证：AB＝2CF. (2)由(1)可知AF＝BG，CF＝CG，∴AB＋BF＝FG＋BF， ∴AB＝FG＝2CF. $$