第12章 全等三角形 专题突破（构全等2） 课件 2023-2024学年人教版数学八年级上册

专题突破 构全等（三）角平分线模型 第十二章 全等三角形 专题突破 构全等（四）一线三等角模型 模型1： SA →AAS（作垂直） 若∠1=∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，PA=PB； 若PA⊥OA，PB⊥OB，PA=PB，则∠1=∠2 1.如图，PA＝PB，∠1＋∠2＝180°.求证：OP平分∠AOB. 证明：过点P作PE⊥AO，PF⊥OB，垂足分别为E，F. ∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠PBO＝180°， ∴∠1＝∠PBO. 在△PAE和△PBF中， ∴△PAE≌△PBF(AAS)， ∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB. 模型2： SA →SAS（截长补短） 若∠1=∠2， OA=OB，则△OAP≌△OBP 2.如图，在△ABC中，∠A＝100°，∠ABC＝40°，BD是△ABC的角平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，连接EC.求证：BC＝AB＋CE. 证明：在BC上截取BM＝BA，连接DM. ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠MBD＝∠ABC＝20°. ∵BD＝BD，∴△ABD≌△MBD， ∴DA＝DM，∠ADB＝∠BDM＝180°－∠A－∠ABD＝60°， ∴∠EDC＝∠ADB＝60°，∠MDC＝60°，∴∠EDC＝∠MDC. ∵DE＝AD，∴DE＝DM， 又∵DC＝DC，∴△EDC≌△MDC，∴MC＝EC， ∴BC＝BM＋MC＝AB＋EC. 模型3： SA →ASA（延长） 若∠1=∠2，AC⊥OC，延长AC，交OB于点B，则△OCA≌△OCB 3.如图，在△AOB中，AO＝OB，∠AOB＝90°，BD平分∠ABO交AO于点D，AE⊥BD交BD延长线于点E.求证：BD＝2AE. 证明：延长AE，交BO的延长线于点F. ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝∠FEB＝90°， ∵BD平分∠ABO， ∴∠ABE＝∠FBE， 又∵BE＝BE， ∴△ABE≌△FBE(ASA)， ∴AE＝FE， ∴AF＝2AE. ∵∠AEB＝∠AOB＝90°， ∴∠OAF＋∠AFO＝90°， ∠OBD＋∠AFO＝90°， ∴∠OAF＝∠OBD， 又∵OA＝OB， ∠AOF＝∠BOD＝90°， ∴△AOF≌△BOD(ASA)， ∴AF＝BD， ∴BD＝2AE. 模型1：一般型 如图1，∠D=∠BAC=∠E，AB=AC， 则△ADB≌△CEA， 如图2，∠BAC=∠BDF=∠CEF，AB=AC， 则△ADB≌△CEA， 1.如图，点E，A，D在同一条直线上，AB＝AC，∠E＝∠D＝∠BAC＝60°.求证：DE＝DB＋CE.　 证明：∵∠BAE＝∠BAC＋∠EAC＝∠D＋∠ABD， 又∵∠BAC＝∠D， ∴∠EAC＝∠ABD， ∵AB＝AC，∠E＝∠D， ∴△EAC≌△DBA(AAS)， ∴AE＝DB，AD＝CE， ∴DE＝AE＋AD＝DB＋CE. 2．如图，AB＝AC，∠BAC＝60°，E为AD上一点，∠ADB＝∠AEC＝120°，BD＝2，CE＝4.5，求DE的长． 模型2：三垂直型 如图1，∠A=∠B=∠DCE=90°，A,C,B在同一直线上，DC=CE，则△ADC≌△BCE； 如图2，∠A=∠EBC=∠DCE=90°，A,C,B在同一直线上，DC=CE，则△ADC≌△BCE； 3.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，C(－1，0)，点A的横坐标为－3. (1)求点B的纵坐标； (2)若BC交y轴于点M，BM＝CM，则点M的坐标是________． 解：(1)过点A作AD⊥ x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E， ∵∠ACB＝90°，∴∠DAC＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠DAC＝∠BCE， 又∵∠ADC＝∠BEC＝90°，AC＝BC，∴△ADC≌△CEB， ∴BE＝CD＝－1－(－3)＝2，∴点B的纵坐标为2； (2)作BF⊥y轴于点F，△CMO≌△BMF，FM＝OM＝1，∴M(0，1). 4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，点A，B分别是x轴和y轴上的点，点C的横坐标为－2，求点B的坐标． 解：过点C作CM⊥y轴于点M， ∵∠CMB＝∠CBA＝90°， ∴∠BCM＋∠CBM＝∠ABO＋∠CBM＝90°， ∴∠BCM＝∠ABO， ∵∠CMB＝∠AOB＝90°，AB＝BC， ∴△BCM≌△ABO， ∴OB＝CM＝2，∴B(0，－2). $$