小升初综合应用(1)（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第二节 解决问题的几种典型案例分析 小学梳理 一、解决问题的一般方法 1. 分析法：是指由问题出发，“执果索因”，推想到已知条件，这是一种“逆向”思维方式，即“倒推法”。也就是说，从问题所求的量开始推理出相应的条件，把缺少的条件又当问题推理出相应的条件，这样推理直到需要的条件都是题目中所给出的已知条件。 2. 综合法：是指从已知条件出发，“由因导果”，推理出问题的思路，这是一种“正向”思维方式，即“顺推法”。也就是说，从条件出发，根据两个条件推出中间的问题，然后把中间的问题当作条件，这样推理直到算出题中所求问题为止。 温馨提示：在解应用题时，分析法和综合法一般是互相配合、协同运作的。 二、解决问题的一般步骤 第一步：审题。就是要弄清题意，找出已知条件及所求问题。 第二步：分析数量关系。根据条件与条件(包括隐蔽条件)、条件与问题间的关系，想出(或写出)等量关系式。 第三步：列式或列方程计算。根据等量关系式里的已知量、未知量确定列式或列方程。 第四步：检验作答。 以上四个步骤中，分析数量关系是最为关键的一步。 三、解决问题的几种典型案例分析 解决问题的几种典型案例：平均数问题、归一问题、归总问题、行程问题、工程问题、分数(百分数)问题、比例尺实际问题、按比例分配问题、公因数和公倍数问题、鸡兔同笼问题。 典型例题 1. 平均数问题 关键是找出平均分的总数量和总份数。基本数量关系式：总数量÷总份数=一份量(即平均数)。(注意：总份数与总数量要对应) 【例1】 在期末考试中，小华语文、数学、科学三门功课的平均分是95 分，语文、数学两门功课的平均分是93分。小华科学考了多少分? 【分析】 这里知道三门功课的平均分，也知道两门功课的平均分，只要用“平均分×总份数”求出语文、数学、科学三门的总分以及语文、数学两门的总分，求科学的得分就水到渠成了。 【解答】 95×3-93×2=99(分) 答：小华科学考了 99分。 2. 归一、归总问题 (1)归一问题，解题时需先求出一个单位量的数值，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的距离等。 (2)归总问题，解题时要先求出总数，然后用这个总数和题中的有关条件求出最后问题。 【例2】 服装厂原来做一套西服用布 3.3米，技术革新后，每套节约用布 0.3米。原来做800套西服的布，现在可以做多少套? 【分析】 这是一个归总问题，解此题要先求出总数量，即原来做800套西服的布料。 【解答】 3.3×800÷(3.3-0.3)=880(套) 答：原来做800套西服的布，现在可以做880套。 3. 行程问题 (1) 相遇问题：指两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇的情况。基本数量关系式：总路程=速度和×相遇时间。 (2)追及问题：指两个运动的物体做同向运动，后面的物体在一定时间内追上前面物体的情况。基本数量关系式：追及时间=路程差÷速度差。 (3)相背而行问题：一般指两个运动的物体同时同地出发反向而行的情况。基本数量关系式：相背总路程=速度和×时间。 【例3】 南京到上海的公路全长约 300 千米，甲、乙两车从南京开往上海，甲车速度为90千米/时，乙车速度为75千米/时。如果乙车先行1小时后甲车才出发，在途中甲车能追上乙车吗? 【分析】 这是一道追及问题，首先我们要算出甲车追上乙车所需时间，再算出这段时间里甲车行的路程有没有超过300千米。如果甲车行的路程没有超过300千米，则甲车能在途中追上乙车，反之则不能在途中追上乙车。 【解答】 75÷(90-75)=5(小时) 90×5=450(千米) 450>300 答：如果乙车先行1小时后甲车才出发，在途中甲车不能追上乙车。 4. 工程问题 工程问题的已知条件中，往往不给出工作量的具体数量，解答工程问题的关键是把工作量看作“1”，工作效率就是工作时间的倒数。基本数量关系式：① 工作时间=工作量÷工作效率； ②工作时间=总工作量÷工效之和。 【例4】 要加工一批零件，师傅单独加工需要 9 天完成，徒弟单独加工需要 15 天完成。现因师傅出门办事，徒弟先单独加工了 3 天后，师傅才回家与徒弟合作，还需要几天才能加工完这批零件? 【分析】 把这批零件看作“1”，先要求出徒弟3天完成的工作量，然后求出剩下的工作量，最后用剩下的工作量除以师、徒两人的工效和。 【解答】 (天) 答：还需要 4.5天才能加工完这批零件。 5. 比例尺问题 求比例尺时，它的前、后项一定要统一单位。基本数量关系式：比例尺=图上距离：实际距离。 温馨提示：比例尺有缩小比例尺(如常见地图)和放大比例尺(如精密零件图)。 【例5】 在比例尺为15：1的图纸上量得一个精密长方体零件的长为6 厘米，宽为4.5 厘米，高为3厘米。这个零