专题4.1 概率、随机变量及其分布列（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

专题四　概率与统计 学生用书↓第66页 第一讲　概率、随机变量及其分布列 1．(2023·全国甲卷)某校文艺部有 4 名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的基本事件有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a1，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝.故选D. 2．(2023·全国乙卷)设O为平面坐标系的坐标原点，在区域{(x，y)|1≤x2＋y2≤4}内随机取一点，记该点为A，则直线 OA 的倾斜角不大于的概率为(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：因为区域{(x，y)|1≤x2＋y2≤4}表示以O(0，0)为圆心，外圆半径R＝2，内圆半径r＝1的圆环，则直线OA的倾斜角不大于的部分如阴影所示，在第一象限部分对应的圆心角∠MON＝，结合对称性可得所求概率P＝＝.故选C. 3．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则(　　) A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大 C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大 答案：D 解析：该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为p甲，则p甲＝2(1－p2)p1p3＋2p2p1(1－p3)＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3， 记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则p乙＝2(1－p1)p2p3＋2p1p2(1－p3)＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3， 记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为p丙，则p丙＝2(1－p1)p3p2＋2p1p3(1－p2)＝2p3(p1＋p2)－4p1p2p3， 则p甲－p乙＝2p1(p2＋p3)－4p1p2p3－[2p2(p1＋p3)－4p1p2p3]＝2(p1－p2)p3<0， p乙－p丙＝2p2(p1＋p3)－4p1p2p3－[2p3(p1＋p2)－4p1p2p3]＝2(p2－p3)p1<0， 即p甲<p乙，p乙<p丙， 则该棋手在第二盘与丙比赛，p最大．选项D判断正确；选项BC判断错误； p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序有关．选项A判断错误．故选D. 4．(2023·全国甲卷)某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪．在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为(　　 ) A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4 答案：A 解析：同时爱好两项的概率为0.5＋0.6－0.7＝0.4，记“该同学爱好滑雪”为事件A，记“该同学爱好滑冰”为事件B，则P(A)＝0.5，P(AB)＝0.4，所以P(B|A)＝＝＝0.8.故选A. 5．(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下： 累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束． 经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为. (1)求甲连胜四场的概率； (2)求需要进行第五场比赛的概率； (3)求丙最终获胜的概率． 解析：(1)甲连胜四场的概率为. (2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛． 比赛四场结束，共有三种情况： 甲连胜四场的概率为； 乙连胜四场的概率为； 丙上场后连胜三场的概率为. 所以需要进行第五场比赛的概率为1－－－＝. (3)丙最终获胜，有两种情况： 比赛四场结束且丙最终获胜的概率为； 比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为，，. 因此丙最终获胜的概率为＋＋＋＝. 6．(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙