送分点12 二项式定理（Word讲义）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点12　二项式定理 1．(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 答案：C 解析：因为(x＋y)5＝x(x＋y)5＋(x＋y)5，(x＋y)5的通项为Cx5－ryr(r＝0，1，2，3，4，5)，所以x(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝10，·(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为C＝5.所以(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15.故选C． 2．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 答案：B 解析：令x＝1，则a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1，令x＝－1，则a4－a3＋a2－a1＋a0＝(－3)4＝81，故a4＋a2＋a0＝＝41.故选B． 3．(2023·高三湖北十一校第二次联考)已知等差数列{an}的第5项是(x－＋2y)6展开式中的常数项，则a2＋a8＝(　　) A．20 B．－20 C．40 D．－40 答案：D 解析：(x－＋2y)6展开式中的常数项为Cx3·C(－)3·(2y)0＝－20，所以a5＝－20，所以a2＋a8＝2a5＝－40.故选D． 4．(2023·杭州市教学质量检测)已知(x2＋1)(2x－1)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9(x∈R)，则a1＝(　　) A．－30 B．30 C．－40 D．40 答案：B 解析：令t＝x－1，则x＝t＋1，所以[(t＋1)2＋1](2t＋1)7＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a9t9，(2t＋1)7的展开式的通项公式为Tr＋1＝C27－rt7－r，r＝0，1，2，…，7，所以a1＝2＋2C×2＝30.故选B． 5．(2023·辽宁葫芦岛二模)(1－)(2x＋y)8的展开式中x2y6的系数为(　　) A．－336 B．－28 C．56 D．112 答案：A 解析：(2x＋y)8＝(2x＋y)8－(2x＋y)8，(2x＋y)8展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)8－ryr，将含x2y6项记为S，则S＝C(2x)2y6－C(2x)3y5＝112x2y6－448x2y6＝－336x2y6，故含x2y6项的系数为－336.故选A． 6．若(1－2x)2 024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 024x2 024，则下列结果不正确的是(　　) A．a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝1 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝ C．＋＋…＋＝0 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048 答案：C 解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2 024＝(－1)2 024＝1　①，故A正确；令x＝－1可得：a0－a1＋a2－a3＋…＋a2 024＝32 024　②，①＋②可得：2(a0＋a2＋a4＋…＋a2 024)＝1＋32 024，故a0＋a2＋a4＋…＋a2 024＝，故B正确；令x＝0可得：a0＝12 024＝1　③，令x＝可得：a0＋＋＋…＋＝0　④，把③代入④即可得出：＋＋…＋＝－1，故C错误；两边对x求导得－4 048(1－2x)2 023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2 024a2 024x2 023，令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2 024a2 024＝4 048，故D正确．故选C． 7．(2023·天津卷)在(2x3－)6的展开式中，x2的系数是________. 答案：60 解析：法一：　二项式(2x3－)6展开式的通项公式Tk＋1＝C(2x3)6－k(－)k＝(－1)k26－kCx18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60. 法二：　将二项式(2x3－)6看成6个多项式(2x3－)相乘，要想出现x2项，则先在2个多项式中分别取2x3，然后在余下的多项式中都取－，相乘，即C(2x3)2×C(－)4＝60x2，所以x2的系数为60. 8．(2023·安徽黄山高三质检)(3x－y＋2z)5的展开式中所有不含字母z的项的系数之和为_________. 答案：32 解析：由二项式定理得：5的展开项的通项公式为Tr＋1＝C5－r·r，欲使得不含z，则r＝0，所以T1＝5，令x＝1，y＝1，则不含字母z的项的系数之和为25＝32. 求二项展开式中的项的方法 求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tr＋1＝Can－rbr的特点，一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0，1，2，…，n). (1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项． (2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程． (3)有理项