2 攻略二 解题有道（课件）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

攻略2 解题有道 第二篇　聚焦核心 增分攻略 内容索引 函数与方程思想 数形结合思想 二 分类与整合思想 三 转化与化归思想 四 一 客观题的解法 五 一　函数与方程思想 01 返回 一、函数与方程思想 函数思想是指用函数的观点、方法去分析问题、转化问题和解决问题．求数列中的项或最值、求不等式中的参数、求立体几何中面积或体积的最值及求解析几何中距离或面积的最值等相关的非函数问题，往往都可利用函数思想转化为函数问题． 方程思想是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为方程或方程组去分析问题和解决问题．如变量的取值范围、直线与圆锥曲线的位置关系、数列中的基本量、二项式系数等问题． 函数与方程的思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解决有关求值、解(证明)不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题；二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的． 应用一　借助函数关系解决问题 在方程、不等式、三角函数、平面向量、数列、圆锥曲线等数学问题中，将原有隐含的函数关系凸显出来，从而充分运用函数知识或函数方法使问题顺利获解． 例1 因为点A(x0，y0) (x0y0≠0)在椭圆上， 由题意直线l的斜率存在， 设过点A的直线l方程为y－y0＝k(x－x0)， 令x＝0，则y＝y0－kx0，令y＝0，则x＝x0－ ， (2)求四边形ABCD面积的最大值． 即2y0x＋x0y＝0， 由椭圆的对称性可得S△ABD＝S△CBD， 即四边形ABCD面积的最大值为4. 解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的求法来求解，这是求面积、线段长、最值(范围)问题的基本方法． 感悟提升 应用二　转换函数关系解决问题 在有关函数形态和曲线性质或不等式的综合问题、恒成立问题中，经常需要求参数的取值范围，如果按照原有的函数关系很难奏效时，不妨转换思维角度，放弃题设的主参限制，挑选合适的主变元，揭示它与其他变元的函数关系，切入问题本质，从而使原问题获解． (2023·山东威海高三期末)若函数f(x)＝ln x与g(x)＝ax－1(a>0)的图象有且仅有一个交点，则关于x的不等式f(x－3)<a－3x－4的解集为 A．(－∞，4) B．(4，＋∞) C．(3，4) D．(3，5) 例2 √ 因为a>0，所以a＝1，即原不等式为ln (x－3)<1－3x－4 ，即ln (x－3)＋3x－4－1<0，令k(x)＝ln (x－3)＋3x－4－1，显然k(x)在x>3时是增函数，又k(4)＝0，所以k(x)<0的解集是3<x<4.故选C． 挖掘、提炼多变元问题中变元间的相互依存、相互制约的关系，反客为主，主客换位，创设新的函数，并利用新函数的性质创造性地使原问题获解，是解题人思维品质高的表现．本题主客换位后，利用新建函数y＝ 的单调性巧妙地求出实数a的取值范围．此法也叫主元法. 感悟提升 应用三　构造函数关系解决问题 在一些数学问题的研究中，可以通过建立函数关系式，把要研究的问题转化为可利用的函数性质问题，达到化繁为简、化难为易的效果． (2023·山东潍坊三模)已知a＝2 0222 024，b＝2 0232 023，c＝2 0242 022，则a，b，c的大小关系为 A．b>c>a B．b>a>c C．a>c>b D．a>b>c 例3 √ 在构造函数求解数学问题的过程中，要确定合适的两个变量，揭示函数关系使问题明晰化. 感悟提升 应用四　建立方程(组)形式解决问题 分析题目中的未知量，根据条件分别列出关于未知数的方程(组)，使原问题得到解决，这就是构造方程法，是应用方程思想解决非方程问题的极富创造力的一个方面． 例4 此题是一道典型的求离心率的题目，一般需要通过a，b，c之间的关系，得出关于a，c的方程，经过恒等变形就可以求出离心率． 感悟提升 返回 02 返回 二　数形结合思想 数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面： 以形助数 借助形的直观性来阐明数之间的联系．以形助数常用的有：借助数轴，借助函数图象，借助单位圆，借助数式的结构特征，借助于解析几何方法 以数助形 借助于数的精确性来阐明形的某些属性．以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系，借助于运算结果与几何定理的结合 由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，