专题7重难突破14 切线与公切线问题（课件）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破14　切线与公切线问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 切线问题 类型一 公切线问题 类型二 专　题　集　训 类型一　切线问题 01 返回 (2023·福建福州质检)已知a∈R，函数f(x)＝(x－a－1)ex－1. (1)讨论f(x)在(－∞，b)上的单调性； 例1 f′(x)＝(x－a)ex－1， 当a≥b时，f′(x)＝(x－a)ex－1≤0，所以f(x)在(－∞，b)上单调递减； 当a<b时，令f′(x)<0，则x<a，令f′(x)>0，则a<x<b， 所以函数f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，b)上单调递增． 综上所述，当a≥b时，f(x)在(－∞，b)上单调递减， 当a<b时，f(x)在(－∞，a)上单调递减，在(a，b)上单调递增． (2)已知点P(m，m)，若过点P可以作两条直线与曲线y＝ex－1＋1(－1<x<3)相切，求m的取值范围． 设切点为Q(x1，y1)， 则切线方程为y－y1＝ex1－1(x－x1)， 若过点P可以作两条直线与曲线y＝ex－1＋1(－1<x<3)相切， 则上述关于x1的方程至少有两个不同的解， 显然x1＝1不是该方程的解， 令g(x)＝ex－1＋1－x，x∈(－1，1)∪(1，3)， 则g′(x)＝ex－1－1，x∈(－1，1)∪(1，3)， 当x∈(－1，1)时，g′(x)<0，所以g(x)在(－1，1)上单调递减， 当x∈(1，3)时，g′(x)>0，所以g(x)在(1，3)上单调递增， 所以g(x)>g(1)＝1，所以当x∈(－1，1)∪(1，3)时，G′(x)>0， 所以G(x)在(－1，1)上单调递增，在(1，3)上单调递增， G(x)的大致图象如图所示： 1．求切线时要注意是过点处的切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点． 2．过函数图象外一点引曲线的切线条数求参数，将原问题转化为两个函数图象的交点个数问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用． 3．直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点． 感悟提升 针对练1.已知函数f(x)＝x3－ax2，求证：当a>3时，过点P(1，f(1))恰有2条直线与曲线y＝f(x)相切． 设过点P(1，f(1))的曲线y＝f(x)的切线的切点为(x0，y0)，f′(x)＝3x2－2ax，f(1)＝1－a， 返回 02 返回 类型二　公切线问题 (2022·全国甲卷)已知函数f(x)＝x3－x，g(x)＝x2＋a，曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))处的切线也是曲线y＝g(x)的切线． (1)若x1＝－1，求a； 例2 由题意知，f(－1)＝－1－(－1)＝0，f′(x)＝3x2－1，f′(－1)＝3－1＝2，则y＝f(x)在点(－1，0)处的切线方程为y＝2(x＋1)，即y＝2x＋2，设该切线与g(x)切于点(x2，g(x2))，g′(x)＝2x，则g′(x2)＝2x2＝2，解得x2＝1，则g(1)＝1＋a＝2＋2，解得a＝3. (2)求a的取值范围． 感悟提升 针对练2.(2023·安徽蚌埠高三质检)已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝ln(x＋a)，a∈R. (1)若a＝1，求证：f(x)≥g(x)； 证明：当a＝1时，g(x)＝ln(x＋1)， 所以当x∈(－1，0)时，m(x)<0，h(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，m(x)>0，h(x)单调递增， 所以当x＝0时，h(x)取得最小值，即h(x)＝ex－1－ln(x＋1)≥h(0)＝0， 所以当a＝1时，f(x)≥g(x)． (2)若函数f(x)与函数g(x)存在两条公切线，求实数a的取值范围． 设函数f(x)与函数g(x)的公切线分别相切于点A(x1，ex1－1)和点B(x2，ln(x2＋a))， 记q(x)＝1－x－ex， 因为q′(x)＝－1－ex<0，所以q(x)单调递减， 又q(0)＝1－0－e0＝0， 所以当x<0时，q(x)>0，n(x)单调递增， 当x>0时，q(x)<0，n(x)单调递减， 由上可知，要使函数f(x)与函数g(x)存在两条公切线，只需直线y＝a与函数n(x)图象有两个交点， 因为n(0)＝1， 由图可知a的取值范围为(－∞，1)． 返回 专题集训 返回 03 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 3．(2021·新高考Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y＝ex的两条切线，则 A．eb<a B．ea<b C．0<a<eb D．0<b<ea 根据y＝ex图象特征(图略)，y＝ex是下凸函数，又过