专题7拓展培优8 导数中常见的放缩应用（课件）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

新字 层级二精准突破保分点 拓展培优8 导数中常见的放缩应用 内容索引 类型一 与e',lnx有关的放缩 类型二 与sinx,cosx,tanx有关的放缩 专题集训 类型一与e,lnx有关的放缩 返回 例1 (①)已知数列1 的前n项和为Sm,则下列结论正确的是 m. A.S2022-1>ln2022 g.S22-1<h2022 C.ln2022<S1o1m-1 D.ln2022>S2021 解析 因为n十1，令=剥nh+h”分所以好 2 33 十h2中1+计++故mm+S可知D错误，设)=n+ -1,(1,十则M)-20,所以在，+上单调道增， 所以>M)=0.即n1x∈(I,十四.令x=1+则nn+1- 本所以+= In n 3 2 ++++ 故ln(n十1)>Sm+1一1，由此可判断AC错误，B正确.故选B. (2)已知实数a,b,c满足ea+c+e4b-c-1≤a十4b+1(其中e为自然对数的底 数)，则a2+b2的最小值是 解析 根据常见不等式e≥x十1（当且仅当x=0时等号成立），可知ea+c≥a十c十 1(当且仅当a十c=0时等号成立)，e6c1≥4b-c(当且仅当4b-c-1=0 时等号成立)，所以ea+c十e4be1≥a十4b十1.又因为ea+c十ebc1≤a十4b十1 所以ec+e4bc-1=a十4b十1，此时a+c=0且4b-c-1=0,即a=一c, b-中，所以+6=2+t8-+c+61e++7 所以a2+b2的最小值是 17 感悟提升 1.对数放缩 (1)放缩成一次函数，如lnx≤x-1,ln(1+x)≤x; (②改编成双振函数，知1nr-c.ne心-0r1 nxk-女eo.lna-k0sr<1: (3)放缩成二次函数，如1nx≤x2-x,n(1+x-2-1r<0,n(1+ pr-26>0: 感悟提升 (④放缩成类反北例画数，如nx≥1-文1(1十)产1十 2.指数放缩 (1)放缩成一次函数，如e≥x十l,e>x,e≥ex; (2)放缩成类反比例函数，如e≤≤0，e。K-0: 3)效缩成二次函数，如e≥1+x+2>0,e≥1+x+22+。之. 3.指对放缩 e-lnx≥(x+1)-x-1)=2. 针对练1.己知函数x)=2x十1一ln2x. (1)求证：x>0,x)≥2： 解析 因为x)=2x+1-ln2x(x>0), 所以/0=2士20 令f>0,得：令f0,得0s 所以)0，上单调递减，在十上单润道增，即心=2， 所以>0，f)≥2，即不等式得证. (2)求证： 922大2 安—、、三之 n+12n∈N*且n≥2). 解析一 由(1)知，2x+1-ln2x≥2， 所以ln2x≤2r-1,当且仅当x=时等号成立， 所以n≤x一1，当且仅当x=1时等号成立，即≤1是 令x=na∈N,得w≤1-n∈N,