专题7拓展培优5 导数中的同构问题（课件）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优5　导数中的同构问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 地位同等同构型 类型一 指对跨阶同构型 类型二 专　题　集　训 类型一　地位同等同构型 01 返回 例1 √ (2)若0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为 √ 感悟提升 针对练1.若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，所以2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，所以a<2b.故选B. √ √ 返回 02 返回 类型二　指对跨阶同构型 例2 √ (2)设a，b都是正数，若aea＋1＋b<bln b(其中e是自然对数的底数)，则 A．ab>e B．b>ea＋1 C．ab<e D．b<ea＋1 √ √ 考向2　x＋ln x与x＋ex型 (1)已知f(x)＝ex－aln x，若对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)>aln a恒成立，则正实数a的取值范围为________． 例3 由题意ex－aln x>aln a恒成立，即ex－ln a－ln x>ln a恒成立，所以ex－ln a＋x－ln a>x＋ln x＝eln x＋ln x恒成立．构造函数g(x)＝ex＋x，易知g(x)在R上单调递增，所以x－ln a>ln x恒成立，即ln a<(x－ln x)min，令h(x)＝x－ln x，h′(x)＝1－ (x>0)，当x∈(0，1)时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1，所以ln a<1，解得0<a<e，所以正实数a的取值范围为(0，e)． (0，e) (2)若不等式ln(mx＋1)－x－1>mx－ex在x∈(0，＋∞)时恒成立，则正实数m的最大值为_____ ． 1 1．跨阶同构的几个关键环节 (1)指对各一边，参数是关键，凑形是难点． (2)凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x＝eln x，xex＝eln x＋x，x2ex＝e2ln x＋x， 感悟提升 2．常见同构式 (1)xln x与xex型：xln x＝ln xeln x，xex＝eln xex. (2)x＋ln x与x＋ex型：x＋ln x＝ln x＋eln x，x＋ex＝eln x＋ex.　 感悟提升 针对练3.已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a，若f(x)≥1，则正实数a的取值范围是____________． [1，＋∞) 由f(x)＝aex－1－ln x＋ln a≥1，移项得aex－1＋ln a≥ln x＋1，即eln a＋x－1＋ln a≥ln x＋1，两边同时加(x－1)，得eln a＋x－1＋(ln a＋x－1)≥ln x＋ eln x．设g(x)＝x＋ex，则g′(x)＝1＋ex>0，所以g(x)在R上单调递增，所以ln a＋x－1≥ln x，即x－ln x＋ln a－1≥0，设h(x)＝x－ln x＋ln a－1，则h′(x)＝1－ ，x>0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝ln a≥0，所以a≥1. 返回 专题集训 返回 03 √ 2 3 4 5 1 2．已知函数f(x)＝xex－2a(ln x＋x)有两个零点，则a的最小整数值为 A．0 B．1 C．2 D．3 √ 2 3 4 5 1 (e，＋∞) 2 3 4 5 1 (1)若曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝2x＋e－3，求a，b的值； 2 3 4 5 1 (2)在(1)的条件下，若f(m)＝g(n)，比较m与n的大小并证明． 2 3 4 5 1 (1)若a＝2，求函数f(x)的极值； 2 3 4 5 1 返回 2 3 4 5 1 谢谢观看 (1)若0<x1<x2<1，则 A．e－e>ln x2－ln x1 B．e－e>ln x2－ln x1 C．x2e>x1e D．x2e<x1e A选项，e－e>ln x2－ln x1⇔e－ln x2>e－ln x1，设f(x)＝ex－ln x．所以f′(x)＝ex－＝，设g(x)＝xex－1，则有g′(x)＝(x＋1)ex>0恒成立，所以g(x)在(0，1)上单调递增，因为g(0)＝－1<0，g(