送分点6 简单的线性规划问题（课件）-【金版新学案】2024高考理科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点6　简单的线性规划问题 层级一　自主练透送分点 作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线y＝ －3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线 经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小， 即z最小．　　　　　　　　　　　　即点A的坐 标为(1，3).从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6. 1．(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件　　　　　则z＝3x＋y的最小值为 A．18　　　　B．10　　　　C．6　　　　D．4 题组自练 √ 2．已知不等式组　　　　　　所表示的平面区域为面积等于　的三角形， 则实数k的值为 A．1　　　　 B．－2　　 C．1或－2　　　　 D． √ 3．实数x，y满足约束条件　　　　　　　若z＝x－ay(a>0)的最大值为4， 则a＝ A．2　　　　B．　　　　　C．3　　　　D．4 √ 或B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值． 把A(－2，－2)代入z＝x－ay，z＝－2＋2a＝4， 得a＝3，符合题意；把B(2，0)代入得z＝2≠4. 所以a＝3.故选C． 4．已知x，y满足　　　　　　　则z＝x2＋y2的最大值是最小值的倍数为 √ 由已知画出可行域，如图中阴影部分所示，由 　　　　　　可得A(2，3)，z＝x2＋y2的几何 意义是可行域内的任意一点(x，y)到坐标原点 O(0，0)的距离的平方，又由图可得点A离坐 标原点最远，则zmax＝|OA|2＝13.由图可知z＝ x2＋y2的最小值是坐标原点O(0，0)到直线2x 作出可行域如图所示： 由z＝2x－y，移项得y＝2x－z， 设A(5，2)，显然平移直线y＝2x使其经过点A，此时截距－z最小，则z最大，代入得z＝8. 5．(2023·全国乙卷)若x，y满足约束条件　　　　　　则z＝2x－y的最大   值为____. 8 作出可行域，如图，由图可知， 所以zmax＝3×3＋2×3＝15. 6．(2023·全国甲卷)若x，y满足约束条件　　　　　　　则z＝3x＋2y的最   大值为___. 15 作出可行域如图中阴影部分所示，而　的几何意义为 可行域内一点P与坐标原点确定直线的斜率的倒数， 因为　　，因此，问题转化为求点P与原点确定直 线的斜率的最小值，即当点P在直线x＝2与x＋y－3 ＝0的交点处时，斜率取最小值，　取得最大值2. 7．若实数x，y满足　　　　　　则　的最大值是___. 2 8．(2023·甘肃省第二次高考诊断考试)若实数x，y满足约束条件 则z＝ax＋by(a>b>0)取最大值4时，　　的最小值为___. 2 由题意可知，可行域是由A(－1，0)，B(1，－2)，C(1，2)构成的三角形及其内部区域．当且仅当直线z＝ax＋by经过点C(1，2)时，z取得最大值， 1．线性规划问题中目标函数的常见形式 (1)截距型：z＝ax＋by，将问题转化为直线　　　　　在y轴上的截距的问题； (2)斜率型：　　　，将问题转化为点(x，y)与点(a，b)连线斜率的问题(7题)； (3)距离型：z＝(x－a)2＋(y－b)2，将问题转化为(x，y)与(a，b)两点间距离的平方的问题(4题). 练后悟通 2．利用线性规划求目标函数最值的步骤 (1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中的任意一条直线l. (2)平移——将l平行移动，以确定最优解所对应的点的位置，有时需要进行目标函数所表示的直线l和可行域边界表示的直线的斜率的大小比较． (3)求值——解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值． 　　在解决线性规划问题时，一定要明白目标函数的几何意义，尤其是表示截距时，系数的正负要注意． 易错提醒 谢谢观看 解方程组得 － 因为不等式组所表示的平面区域为面积等于的三角形，所以k>0，如图，知A(2，0)，B(－，0)，C(，).所以三角形的面积为(2＋)·()＝，解得k＝1或k＝－2(舍去).故选A． 作出可行域如图所示，由解得A(－2，－2).由图得B(2，0)，化目标函数z＝x－ay(a>0)为y＝x－z，当直线y＝x－z过A A．13　　　　B．　　　　C．　　　　D． ＋y－2＝0的距离的平方，又坐标原点O(0，0)到直线2x＋y－2＝0的距离d＝＝，所以zmin＝.综上，z＝x2＋y2的最大值与最小值的比值为＝，即z＝x2＋y2的最大值是最小值的倍．故选D． 联立有解得 当目标函数y＝－x＋过点A时，z有最大值， 由可得即A(3，3)， 　 　 　 ＝ ＋ 所以a＋2b＝4，所以＋＝(＋)(a＋2b)＝(2＋＋＋2)≥(4＋2)＝2，当且仅当＝，即a＝2b＝2时，等号成立． y＝－x＋ z＝ $$