专题7.4 函数与导数中的综合问题（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第四讲　函数与导数中的综合问题 1．(2023·全国乙卷)已知函数f (x)＝ln(1＋x)． (1)当a＝－1时，求曲线y＝f (x)在点(1，f(1))处的切线方程． (2)是否存在a，b，使得曲线y＝f 关于直线x＝b对称？若存在，求a，b的值；若不存在，说明理由． (3)若f (x)在(0，＋∞)上存在极值，求a的取值范围． 解析：(1)当a＝－1时，f (x)＝ln(x＋1)(x>－1)， 则f′(x)＝－×ln(x＋1)＋×， 据此可得f (1)＝0，f′ (1)＝－ln 2， 所以函数在(1，f (1))处的切线方程为y－0＝－ln 2(x－1)，即(ln 2)x＋y－ln 2＝0. (2)由函数的解析式可得f ＝(x＋a)ln， 函数的定义域满足＋1＝>0，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)， 定义域关于直线x＝－对称， 由题意可得b＝－， 由对称性可知f ＝f ， 取m＝可得f (1)＝f (－2)， 即(a＋1)ln 2＝(a－2)ln，则a＋1＝2－a，解得a＝， 经检验a＝，b＝－满足题意， 即存在a＝，b＝－满足题意． (3)f′(x)＝＝， 设h(x)＝－ln(x＋1)＋，x∈(0，＋∞)， 则h′(x)＝. ①当a≥时，h′(x)>0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增， 注意到h(0)＝0，所以h(x)>0，即f′(x)>0， 所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； ②当a≤0时，h′(x)<0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减， 注意到h(0)＝0，所以h(x)<0，即f′(x)<0， 所以函数f (x)在(0，＋∞)上单调递减，无极值点； ③当0<a<时，容易求得h(x)在上单调递减，在上单调递增， 注意到h(0)＝0，当x→＋∞，h(x)→＋∞， 所以在x∈上存在x0，使得h(x0)＝0. 当x∈(0，x0)时，h(x)<0，函数f (x)单调递减， 当x∈(x0，＋∞)时，h(x)>0，函数f (x)单调递增． 所以函数f (x)在(0，＋∞)内有极值点x0. 综上可知，a的取值范围为. 2．(2022·全国乙卷)已知函数f (x)＝ln(1＋x)＋axe－x. (1)当a＝1时，求曲线y＝f (x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若f (x)在区间(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一个零点，求a的取值范围． 解析：(1)f (x)的定义域为(－1，＋∞)． 当a＝1时，f (x)＝ln(1＋x)＋，f (0)＝0，所以切点为(0，0)． f′(x)＝＋，f′(0)＝2，所以切线斜率为2， 所以曲线y＝f (x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝2x. (2)由f (x)＝ln(1＋x)＋，得f′(x)＝＋＝. 设g(x)＝ex＋a(1－x2)， 1°若a>0，当x∈(－1，0)，g(x)＝ex＋a(1－x2)>0，即f′(x)>0； 所以f (x)在(－1，0)上单调递增，f (x)<f(0)＝0， 故f (x)在(－1，0)上没有零点，不合题意． 2°若－1≤a≤0，当x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex－2ax>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以g(x)>g(0)＝1＋a≥0，即f′(x)>0， 所以f (x)在(0，＋∞)上单调递增，f (x)>f(0)＝0， 故f (x)在(0，＋∞)上没有零点，不合题意． 3°若a<－1， ①当x∈(0，＋∞)，则g′(x)＝ex－2ax>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， g(0)＝1＋a<0，g(1)＝e>0， 所以存在m∈(0，1)，使得g(m)＝0，即f′(m)＝0， 当x∈(0，m)，f′(x)<0，f (x)单调递减，当x∈(m，＋∞)，f′(x)>0，f (x)单调递增， 所以当x∈(0，m)，f (x)<f(0)＝0， 当x→＋∞，f (x)→＋∞，所以f (x)在(m，＋∞)上有唯一零点． 又f (x)在(0，m)上没有零点，即f (x)在(0，＋∞)上有唯一零点． ②当x∈(－1，0)，g(x)＝ex＋a(1－x2)， 设h(x)＝g′(x)＝ex－2ax，h′(x)＝ex－2a>0，所以g′(x)在(－1，0)上单调递增， g′(－1)＝＋2a<0，g′(0)＝1>0， 所以存在n∈(－1，0)，使得g′(n)＝0， 当x∈(－1，n)，g′(x)<0，g(x)单调递减，当x∈(n，0)，g′(x)>0，g(x)单调递增，g(x)<g(0)＝1＋a<0，又g(－1)＝>0， 所以存在t∈(－1，n)，使得g(t)＝0，即f′(t)＝0， 当x∈(－1，t)，f (x)单调递增，当x∈(t，0)，f (x)单调递减， 有x→－1，f (x)→－∞， 而