专题2.1 等差数列与等比数列（Word讲义）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

专题二　数列 学生用书↓第33页 第一讲　等差数列与等比数列 1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 答案：C 解析：由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4， 即q3＋q4＝4q＋4q2，即q3＋q2－4q－4＝0，即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.由题知q>0，所以q＝2. 所以S4＝1＋2＋4＋8＝15.故选C． 2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝(　　) A．14 B．12 C．6 D．3 答案：D 解析：设等比数列{an}的公比为q，q≠0，若q＝1，则a2－a5＝0，与题意矛盾， 所以q≠1，则解得所以a6＝a1q5＝3.故选D． 3．(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 答案：C 解析：法一：设等比数列{an}的公比为 q，首项为a1， 若q＝1，则S6＝6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可得，＝－5，＝21×　①，由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4(负值舍去)，所以S8＝＝×(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.故选C． 法二：设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列， 所以(－5－S2)2＝S2(21S2＋5)，解得S2＝－1或S2＝，当S2＝－1时，S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知，S8＋21＝－64，即S8＝－85；当S2＝时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝(a1＋a2)(1＋q2)＝(1＋q2)S2>0，与S4＝－5矛盾，舍去．故选C． 4．记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a2＝11，S10＝40. (1)求{an}的通项公式； (2)求数列{|an|}的前n项和Tn. 解析：(1)设等差数列的公差为d， 由题意可得 即解得 所以an＝13－2(n－1)＝15－2n. (2)因为Sn＝＝14n－n2， 令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*， 当n≤7时，则an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2； 当n≥8时，则an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an) ＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2×(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98； 综上所述，Tn＝ 5．(2021·全国甲卷)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列{an}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 解析：①③⇒②. 已知{an}是等差数列，a2＝3a1. 设数列{an}的公差为d，则a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1， 所以Sn＝na1＋d＝n2a1. 因为数列{an}的各项均为正数，所以＝n， 所以－＝(n＋1)－n＝(常数)，所以数列{}是等差数列． ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{}是等差数列． 设数列{an}的公差为d， 则Sn＝na1＋d＝n2d＋n. 因为数列{}是等差数列，所以数列{}的通项公式是关于n的一次函数，则a1－＝0，即d＝2a1，所以a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{}是等差数列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{}的公差为d，d>0，则－＝－＝d，得a1＝d2，所以＝＋(n－1)d＝nd，所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，所以数列{an}是等差数列． 考情分析 1．等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以选择题、填空题的形式出现． 2．数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下． 考点一　等差数列、等比数列的基本运算 1．(2023·河北秦皇岛二模)已知数列{an}满足2an＋1＝an＋an＋2，其前n项和为Sn，若S9＝18，则a5＝(　　) A．－2 B．0 C．2 D．4 答案：C 解析：根据题意2an＋1＝an＋an＋2，可得数列{an}为等差数列，所以S9＝＝9a5＝18，所以a5＝2.故选C． 2．(2023·江苏镇江模拟