专题7拓展培优5 导数中的同构问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优5　导数中的同构问题 层级三　攻坚克难抢分点 内容索引 地位同等同构型 类型一 指对跨阶同构型 类型二 专　题　集　训 类型一　地位同等同构型 01 返回 (1)若0<x1<x2<1，则 例1 √ (2)若0＜x1＜x2＜a，都有x2ln x1－x1ln x2≤x1－x2成立，则a的最大值为 A． B．1 C．e D．2e √ 常见的含有二元变量x1，x2函数的同构类型 1．g(x1)－g(x2)>λ[f (x2)－f(x1)]⇔g(x1)＋λf (x1)>g(x2)＋λf(x2)，构造函数φ(x)＝g(x)＋λf(x)． 2． >k(x1<x2)⇔f (x1)－f (x2)<kx1－kx2⇔f (x1)－kx1<f(x2)－kx2，构造函数φ(x)＝f(x)－kx.　　 感悟提升 针对练1.若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则 A．a>2b B．a<2b C．a>b2 D．a<b2 由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增．又因为22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，所以2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，所以a<2b.故选B． √ 针对练2.若对任意的x1，x2∈(m，＋∞)，且x1＜x2， ＜2，则m的最小值是 A．e2 B．e C．1 D． √ 返回 02 返回 类型二　指对跨阶同构型 (1)设实数m>0，若对任意的x∈(0，＋∞)，不等式emx－≥0恒成立，则实数m的取值范围是 例2 √ (2)设a，b都是正数，若aea＋1＋b<bln b(其中e是自然对数的底数)，则 A．ab>e B．b>ea＋1 C．ab<e D．b<ea＋1 √ (3)已知函数f(x)＝aexln x(a≠0)，若对于任意x∈(0，1)，f(x)<x2＋xln a恒成立，则实数a的取值范围是 √ 考向2　x＋ln x与x＋ex型 (1)已知f(x)＝ex－aln x，若对任意x∈(0，＋∞)，不等式f(x)>aln a恒成立，则正实数a的取值范围为________． 例3 由题意ex－aln x>aln a恒成立，即ex－ln a－ln x>ln a恒成立，所以ex－ln a＋x－ln a>x＋ln x＝eln x＋ln x恒成立．构造函数g(x)＝ex＋x，易知g(x)在R上单调递增，所以x－ln a>ln x恒成立，即ln a<(x－ln x)min，令h(x)＝x－ln x，h′(x)＝1－ (x>0)，当x∈(0，1)时，h′(x)<0，所以h(x)在(0，1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，所以h(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝1，所以ln a<1，解得0<a<e，所以正实数a的取值范围为(0，e)． (0，e) (2)若不等式ln(mx＋1)－x－1>mx－ex在x∈(0，＋∞)时恒成立，则正实数m的最大值为____． 1 ln(mx＋1)－x－1>mx－ex⇔ln(mx＋1)－mx>x＋1－ex⇔ln(mx＋1)－mx>ln[(ex－1)＋1]－(ex－1)，设f(x)＝ln(x＋1)－x(x>0)，则ln(mx＋1)－mx>ln[(ex－1)＋1]－(ex－1)，即为f(mx)>f(ex－1)，因为f′(x)＝ －1＝－ <0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减，因为m>0，x>0，所以mx>0，ex－1>0，从而f(mx)>f(ex－1)等价于mx<ex－1，即mx＋1<ex，注意到曲线y＝ex在(0，1)处的切线为y＝x＋1，如图，所以当且仅当0<m≤1时，mx＋1<ex在(0，＋∞)上恒成立，故正实数m的最大值为1. 1．跨阶同构的几个关键环节 (1)指对各一边，参数是关键，凑形是难点． (2)凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：x＝eln x，xex＝eln x＋x，x2ex＝e2ln x＋x， ＝e－ln x＋x，ln x＋ln a＝ln ax，ln x－1＝ln ，有时也需要对两边同时加、乘某式等． 2．常见同构式 (1)xln x与xex型：xln x＝ln xeln x，xex＝eln xex. (2)x＋ln x与x＋ex型：x＋ln x＝ln x＋eln x，x＋ex＝eln x＋ex.　　 感悟提升 针对练3.已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln