专题6拓展培优3 圆锥曲线与圆的综合问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优3　圆锥曲线与圆的综合问题 层级三　精准突破保分点 内容索引 圆的切线与圆锥曲线的综合问题 类型一 圆锥曲线中的四点共圆问题 类型二 专　题　集　训 类型一　圆的切线与圆锥曲线的综合问题 01 返回 (1)求椭圆C的方程； 例1 所以a2＝4，b2＝2， (2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M，D为线段AB的中点，点N是M关于O的对称点，以N点为圆心的圆过原点O，直线DF与⊙N相切于点F，求 的最大值． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由Δ>0得m2<4k2＋2(*)， 又N(0，－m)， 等号当且仅当t＝3时成立， 处理圆的切线与圆锥曲线综合问题，主要就是巧设直线方程，利用圆的切线性质(圆心到直线的距离等于半径)找到直线的参数之间的关系或者转化为直线斜率的一元二次方程，利用根与系数的关系求解． 感悟提升 针对练1.在平面直角坐标系xOy中，F为抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，D为抛物线C上第一象限内任意一点，△FOD外接圆的圆心为Q，且圆心Q到抛物线C的准线的距离为 . (1)求抛物线C的方程； 由抛物线C：x2＝2py， (2)设点P(x0，y0)(x0>1)为抛物线C上第一象限内任意一点，过点P作圆x2＋(y－1)2＝1的两条切线l1，l2且与y轴分别相交于A，B两点，求△PAB面积的最小值． 设过点P(x0，y0)的直线l的方程为y－y0＝k(x－x0)， 设直线l1，l2在y轴上的截距分别为y1，y2， 则y1＝y0－k1x0，y2＝y0－k2x0， |AB|＝|y1－y2|＝|k1－k2|·x0 返回 02 返回 类型二　圆锥曲线中的四点共圆问题 考向1　四点共圆的证明 (1)证明：点P在C上； 例2-1 (2)设点P关于点O的对称点为Q，证明：A，P，B，Q四点在同一圆上． 故A，P，B，Q四点在同一圆上． 显然该方程表示圆，所以A，P，B，Q四点在同一圆上． 圆锥曲线中的四点共圆问题在高考中是一大难点，常规的做法是用垂径定理找圆心，并通过计算得出圆心到四点的距离相等，从而证出四点共圆，再求出圆的方程．除此之外，应用曲线系方程也可以很好地解决这类问题，下面先分析曲线系方程的用法： 1．曲线系方程：设f(x，y)＝0和g(x，y)＝0分别表示平面上的两条有公共点的曲线，则经过两曲线交点的曲线系方程可以为λf(x，y)＋g(x，y)＝0. 感悟提升 2．高考中常见的四点共圆问题是两条直线与圆锥曲线交于不同的四点，判断四点是否在同一圆上，如果是，需求出圆的方程．应用曲线系方程求解这类四点共圆问题的解题步骤是： (1)设经过圆锥曲线和两直线交点的曲线系方程为λf(x，y)＋g(x，y)＝0，其中f(x，y)＝0表示圆锥曲线方程，g(x，y)＝0表示两直线构成的曲线的方程； (2)将λf(x，y)＋g(x，y)＝0展开，合并同类项， 与圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0比较系数，求出λ的值； (3)将λ反代回方程λf(x，y)＋g(x，y)＝0的展开式，化为圆的标准方程，从而得出四点共圆且求出了圆的方程． 感悟提升 针对练2.已知抛物线C：x2＝2y的焦点为F，斜率为1的直线l过F且与抛物线C交于A，B两点． (1)求△AOB的面积； 易得判别式Δ1>0，故x1＋x2＝2，x1x2＝－1， (2)线段AB的中垂线与抛物线C交于D，E两点，证明：A，B，D，E四点共圆，并求该圆的方程． 代入x2＝2y消去y整理得：x2＋2x－5＝0， 判别式Δ2＝4－4×1×(－5)＝24>0， 设D(x3，y3)，E(x4，y4)，则x3＋x4＝－2，x3x4＝－5，y3＋y4＝－(x3＋x4)＋5＝7， 法二：由(1)知y1＋y2＝(x1＋x2)＋1＝3， 取λ＝－2， 由题意，点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支， 设实半轴长为a，则|MF1|－|MF2|＝2a＝2， 例2-1 (2)设点T在直线x＝ 上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为x1≥1，x2≥1， 从而k1＋k2＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 由题意，A，B均在T的右侧，所以t1t2>0， 从而cos2α＝cos2β，故cos α＝±cos β， 因为α≠β，所以cos α≠cos β，故cos α＝－cos β， 从而α与β互补，所以tan α＝－tan β， 故tan α＋tan β＝0，即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0. 本题的题干并没有“四点共圆”这样的字眼，但实际上我们知道，根据割线定理，只要满足了|TA