专题6.3 圆锥曲线中的综合问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第三讲　圆锥曲线中的综合问题 内容索引 引领 高考价值 01 提升 关键能力 02 专 题 集 训 03 高考价值　引领 01 返回 1．(2023·全国甲卷)已知直线x－2y＋1＝0与抛物线C：y2＝2px(p>0)交于A，B两点，|AB|＝4 . (1)求p； 设A(xA，yA)，B(xB，yB)， 所以yA＋yB＝4p，yAyB＝2p， 即2p2－p－6＝0，因为p>0，解得p＝2. 因为F(1，0)，显然直线MN的斜率不可能为零， 设直线MN：x＝my＋n，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n， Δ＝16m2＋16n>0⇒m2＋n>0， 即(my1＋n－1)(my2＋n－1)＋y1y2＝0， 亦即(m2＋1)y1y2＋m(n－1)(y1＋y2)＋(n－1)2＝0， 将y1＋y2＝4m，y1y2＝－4n代入得， 4m2＝n2－6n＋1，因为4(m2＋n)＝(n－1)2>0， (1)求C的方程； (2)过点(－2，3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 证明：由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ：y＝k(x＋2)＋3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 消去y得(4k2＋9)x2＋8k(2k＋3)x＋16(k2＋3k)＝0， 则Δ＝64k2(2k＋3)2－64(4k2＋9)(k2＋3k)＝－1 728k>0，解得k<0， 所以线段MN的中点是定点(0，3)． 主要利用直线与圆锥曲线的位置关系考查最值、范围、定点、定值问题，难度较大，多为压轴题．着重考查学生数学直观、数学建模、逻辑推理及数学运算等核心素养． 返回 考情分析 02 返回 关键能力　提升 一　圆锥曲线中的范围、最值问题 角度一　距离与面积的最值(范围)问题 (1)求椭圆C的方程； 例1 (2)若B，D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线l交椭圆C于P，Q(P在上方，Q在下方，且均不与B，D点重合)两点，直线PB，QD的斜率分别为k1，k2，且k2＝－3k1，求△PBQ面积的最大值． 依题意设直线PQ的方程为y＝kx＋m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， Δ＝64k2m2－4(1＋4k2) (4m2－4)＝16(1＋4k2－m2)>0， 即3x1x2－4(1＋y1) (1＋y2)＝0； 将y1＝kx1＋m, y2＝kx2＋m代入上式得： 3x1x2－4(1＋y1) (1＋y2)＝3x1x2－4(kx1＋m＋1)(kx2＋m＋1) ＝(3－4k2)x1x2－4k(m＋1) (x1＋x2)－4(m＋1)2 整理得：m2－m－2＝0，所以m＝2或m＝－1(舍)， 求解范围、最值问题的常见方法 1．利用判别式来构造不等关系． 2．利用已知参数的范围，在两个参数之间建立函数关系． 3．利用隐含或已知的不等关系建立不等式． 4．利用基本不等式． 感悟提升 针对练1.(2023·广东广州二模)已知点F(1，0)，P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C． (1)求C的方程； (2)过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的 方程． 由题意可知：直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由题意可知四边形MANB为梯形，设四边形MANB的面积为S， 设t＝|k|>0， 角度二　斜率与某些参数(式子)的范围(最值)问题 (1)求椭圆C的标准方程； 例2 联立以上3个式子，可得a2＝16，b2＝12，c2＝4. (2)O为坐标原点，A为椭圆C的右顶点，直线l交椭圆C于E，F两不同点(点E，F与点A不重合)，且满足AE⊥AF，若点P满足 求直线AP的斜率的取值范围． 由(1)得A(4，0)．易知直线l与x轴不平行． 当直线l⊥x轴时，不妨设点E在点F上方． 因为AE⊥AF，所以直线AE的倾斜角为135°， 所以直线AE的方程为y＝－x＋4. 当直线l不垂直于x轴时，设E(x1，y1)，F(x2，y2)，直线l：y＝kx＋t(t≠－4k，k≠0)． (3＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－48＝0. 则Δ＝(8kt)2－4(3＋4k2)(4t2－48)>0， 即16k2－t2＋12>0，(*) 因为AE⊥AF， ＝(x1－4)(x2－4)＋(kx1＋t)(kx2＋t) ＝(1＋k2)x1x2＋(kt－4)(x1＋x2)＋16＋t2 即7t2＋32kt＋16k2＝0， 感悟提升 感悟提升 显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx－1，D