专题5.2 不等式选讲（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第二讲　不等式选讲 内容索引 引领 高考价值 01 提升 关键能力 02 专 题 集 训 03 高考价值　引领 01 返回 1．(2023·全国甲卷)已知f(x)＝2|x－a|－a，a>0. (1)求不等式f(x)<x的解集； 若x≤a，则f(x)＝2a－2x－a<x， 若x>a，则f(x)＝2x－2a－a<x，解得x<3a， 即a<x<3a， (2)若曲线y＝f(x)的图象与坐标轴所围成的图形的面积为2，求a. 2．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|. (1)画出y＝f(x)和y＝g(x)的图象； 所以y＝f(x)与y＝g(x)的图象为： (2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范围． 3．(2022·全国甲卷)已知a，b，c均为正数，且a2＋b2＋4c2＝3，证明： (1)a＋b＋2c≤3； 由柯西不等式有[a2＋b2＋(2c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋2c)2， 所以a＋b＋2c≤3， 当且仅当a＝b＝2c＝1时，取等号， 所以a＋b＋2c≤3. 因为b＝2c，a>0，b>0，c>0，由(1)得a＋b＋2c＝a＋4c≤3， 不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是绝对值不等式以及不等式的证明，其中绝对值不等式的解法以及利用不等式恒成立求参数的取值范围，含有参数的绝对值的函数最值是命题的热点．该部分在高考中以选做解答题的形式呈现，试题难度中档．突出数学运算、逻辑推理、直观想象等素养的考查． 返回 考情分析 02 返回 关键能力　提升 考点一　含绝对值不等式的解法 (2023·陕西榆林一模)已知函数f(x)＝|x＋a－2|＋|x＋3|. (1)当a＝0时，求不等式f(x)≥9的解集； 例1 当a＝0时，f(x)≥9，即|x－2|＋|x＋3|≥9. 当x≤－3时，2－x－x－3≥9，解得x≤－5； 当－3<x<2时，2－x＋x＋3≥9，不成立； 当x≥2时，x－2＋x＋3≥9，解得x≥4； 故不等式的解集为(－∞，－5]∪[4，＋∞)． (2)若函数f(x)>2，求a的取值范围． |x＋a－2|＋|x＋3|≥|x＋a－2－(x＋3)|＝|a－5|，x＝－3时，等号成立，而f(x)>2，所以|a－5|>2，解得a>7或a<3，故a的取值范围为(－∞，3)∪(7，＋∞)． 绝对值不等式的解法 感悟提升 针对练1.(2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； 当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|， 故f(x)≥6即|x－1|＋|x＋3|≥6； 当x≤－3时，1－x－x－3≥6，解得x≤－4，又x≤－3，所以x≤－4； 当－3＜x≤1时1－x＋x＋3≥6，即4≥6，不成立； 当x>1时，x－1＋x＋3≥6，解得x≥2，又x＞1，所以x≥2. 综上，原不等式的解集为{x|x≤－4或x≥2}． (2)若f(x)>－a，求a的取值范围． f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|3＋a|，当x的值在a与－3之间(包括两个端点)时取等号， 若f(x)>－a，则只需|3＋a|>－a， 考点二　不等式的证明 例2 因为a>0，b>0，c>0， 当且仅当a＝b＝c时取等号． 证明不等式的常用方法 不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等． (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法． (2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的． (3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法．用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾． 感悟提升 (1)画出f(x)的图象，并写出f(x)≤6的解集； 由图可知，f(x)≤6的解集为{x|－6≤x≤2}． 证明：由(1)知，函数f(x)的最小值为T＝4， 则a＋b＝4. 所以0<ab≤4. 因为(a2＋1)(b2＋1)＝a2b2＋a2＋b2＋1 ＝a2b2＋(a＋b)2－2ab＋1＝a2b2－2ab＋17 ＝(ab－1)2＋16， 由于0<ab≤4，则16≤(ab－1)2＋16≤25，即16≤(a2＋1)(b2＋1)≤25， 考点三　含绝对值不等式恒(能)成立问题 (2023·四川遂宁三诊)已知函数f(x)＝|x－t|＋|x＋t|，t∈R. (1)若t＝1，求不等式f(x)≤8－x2的解集； 例3 因为f(x)≤8－x2， 综上可得不等式的解集为[－2，2]． (2)已知m＋n＝4，若对任意x∈R，都存在m>0，n>0使得f(x)＝