专题3重难突破10 立体几何中的截面、交线问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破10　立体几何中的截面、交线问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 立体几何中的截面问题 类型一 立体几何中的交线问题 类型二 专　题　集　训 类型一　立体几何中的截面问题 01 返回 考向1　多面体中的截面问题 (2023·湖北高三四月调研)已知在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，过棱BC，CD的中点E，F作正方体的截面多边形，则下列说法不正确的有 A．截面多边形可能是五边形 B．若截面与直线AC1垂直，则该截面多边形为正六边形 C．若截面过AB1的中点，则该截面不可能与直线A1C平行 D．若截面过点A1，则该截面多边形的面积为 例1 √ 对于B项，如图①所示，在正方体中易证AC1⊥平面A1BD，分别取棱DD1，D1A1，A1B1，B1B的中点G，H，I，J，由中位线的性质可得平面A1BD∥平面EFGHIJ，故AC1⊥平面EFGHIJ，而六边形EFGHIJ显然为正六边形，故B正确； 对于C项，如图②所示，连接AC、BD交于O点，记平面AD1和平面AB1的中心分别为G、H， 易知G，H，E，F共面(即符合要求的截面)． 连接A1O、CO交GH、EF于N、M两点， 由中位线性质可得N，M为A1O，CO的中点， 故A1C∥MN，又因为A1C⊄平面GHEF，MN⊂平面GHEF，所以A1C∥平面GHEF，所以C项错误； 对于AD项，如图③所示，延长EF分别与直线AB，AD交于P，Q两点，连接A1P、A1Q交棱B1B，D1D于S，T两点，则五边形A1SEFT为所得截面，A正确；S＝S△A1PQ－S△SEP－S△TQF＝ ，故D正确． 故选C． 考向2　球的截面问题 (2023·安徽淮南二模)如图，棱长为2的正四面体ABCD中，M，N分别为棱AD，BC的中点，O为线段MN的中点，球O的表面正好经过点M，则下列结论中不正确的是 例2 √ 对于A，设E，F分别为AB，CD的中点，连接ME，EN，NF，MF，EF，AN，DN， 又AB＝AC，DB＝DC，故AN⊥BC，DN⊥BC，AN∩DN＝N，AN，DN⊂平面AND，故BC⊥平面AND，由于O∈MN，MN⊂平面AND，则AO⊂平面AND，故BC⊥AO，结合O点也为EF的中点，同理可证DC⊥AO，BC∩DC＝C，BC，DC⊂平面BCD，故AO⊥平面BCD，故A正确；对于B，由球O的表面正好经过点M，则球O的半径为OM， 空间几何体作截面图的方法 1．直接法.2．平行线法.3．延长法.4．辅助平面法． 感悟提升 针对练1.(2023·安徽合肥质检)已知正方体ABCD-A1B1C1D1，过体对角线BD1作平面α交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则 ①平面α分正方体所得两部分的体积相等； ②四边形BFD1E一定是平行四边形； ③平面α与平面DBB1不可能垂直； ④四边形BFD1E的面积有最大值． 其中所有正确结论的序号为 A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ √ 针对练2.已知正三棱柱ABC A1B1C1的各棱长均为2，D为棱AB的中点， 则过点D的平面截该三棱柱外接球所得截面面积的取值范围为________． 返回 02 返回 类型二　立体几何中的交线问题 考向1　多面体中的交线问题 如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6，E，F分别是A1D1，AA1的中点，平面CEF截正方体所得的截面为多边形，则此截面多边形的周长为__________． 例3 延长EF交DA的延长线于点M，连接MC交AB于点N，延长FE交DD1的延长线于点P，连接PC交C1D1于点Q，连接EQ，则五边形EFNCQ即为平面CEF截正方体所得的截面，如图所示， 考向2　球的交线问题 已知三棱锥P ABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，AP＝AB＝AC＝2 ，以顶点P为球心，4为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交 得到四段弧，则最长弧的弧长等于________． 例4 找交线的方法 1．线面交点法：各棱线与截平面的交点． 2．面面交点法：各棱面与截平面的交线． 感悟提升 针对练3.已知正三棱台ABC A1B1C1的上、下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，2为半径的球面与此正三棱台的表面的交线长为________． 2π 不妨设以下底面的顶点A为球心作球面，由题意得△ABC是边长为5的等边三角形，侧面均为全等的等腰梯形，在四边形ABB1A1中，AB＝5，A1B1＝2，AA1＝BB1＝3， 针对练4.如图，正方体ABCD A1B1C1D1的棱长是2，S是A1B1的中点，P是A1D1的中点，点Q在正方形DCC1D1及其内部运动，若PQ∥平面SBC1，则点Q的轨迹的长度是________． 返回 专题集训 返回 03 1．(2023