专题3重难突破9 立体几何中的动态问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破9　立体几何中的动态问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 动点轨迹问题 类型一 动点的最值与范围问题 类型二 专　题　集　训 类型一　动点轨迹问题 01 返回 (1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M，N分别是直线CD，AB上的动点，点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，记直线D1P与MN所成角为θ，若θ的最小值为，则点P的轨迹是 A．圆的一部分 B．椭圆的一部分 C．抛物线的一部分 D．双曲线的一部分 例1 √ 把MN平移到平面A1B1C1D1中，直线D1P与MN所成角为θ，直线D1P与MN所成角的最小值是直线D1P与平面A1B1C1D1所成角，即原问题转化为：直线D1P与平面A1B1C1D1所成角为 ，点P在平面A1B1C1D1的投影为圆的一部分，因为点P是△A1C1D内的动点(不包括边界)，所以点P的轨迹是椭圆的一部分．故选B． (2)(2023·东北三校联考)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的侧面ABB1A1内有一动点P到直线A1B1与直线BC的距离相等，则在侧面ABB1A1上动点P 的轨迹与棱AB，BB1所围成的图形面积是________． 以点A为坐标原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)．设点P(x，0，z)，则0≤x≤2，0≤z≤2，则点P到直线A1B1的距离为2－z. 解决与几何体有关的动点轨迹问题的方法 1．几何法：根据平面的性质进行判定． 2．定义法：转化为平面轨迹问题，用圆锥曲线的定义判定或用代数法进行计算． 3．特殊值法：根据空间图形线段长度关系取特殊值或位置进行排除. 感悟提升 针对练1.已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，E为CC1的中点，P在对角面BB1D1D内运动，若EP与AC成30°角，则点P的轨迹为 A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．椭圆 因为在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中，AA1与底面A1B1C1D1垂直，且AD＝AB，所以该平行六面体ABCD -A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱，所以对角面BB1D1D⊥底面ABCD，AC⊥对角面BB1D1D．取AA1的中点F，连接EF(图略)，则EF∥AC．因为EP与AC成30°角，所以EP与EF成30°角．设EF与对角面BB1D1D的交点为O，则EO⊥对角面BB1D1D，所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面圆周．故选A． √ 返回 02 返回 类型二　动点的最值与范围问题 (1)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，P是A1B上的动点，有下面四个结论： 例2 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ √ (2)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为______cm3. 如图，连接OD，交BC于点G， 则f′(x)＝100x3－50x4. 在动态变化过程中产生的体积最大、距离最大(小)、角的范围等问题，常用的解题思路 1．直观判断：在变化过程中判断点、线、面在何位置时，所求的量有相应最大、最小值． 2．函数思想：通过建系或引入变量，把这类动态问题转化为目标函数，从而利用代数方法求目标函数的最值． 感悟提升 针对练2.(2023·山东枣庄二调)如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，M是A1B1的中点，点P是侧面CDD1C1上的动点，且MP∥平面AB1C，则线段MP长度的取值范围为 √ 返回 专题集训 返回 03 1．(2022·新余模拟)点P为棱长是2 的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球O球面上的动点，点M为B1C1的中点，若满足DP⊥BM，则动点P的轨迹的长度为 A．π B．2π C．4π D．2 π √ 2 3 4 5 6 7 8 1 2．(2022·广东中山纪念中学月考)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，△ABC为等边三角形，PA＝AB＝2，点N为BC的中点，若点M为△ABC内一点，且有∠MPA＝30°，则MN的最小值为 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 因为PA⊥底面ABC，AM⊂平面ABC，所以PA⊥AM， 2 3 4 5 6 7 8 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4．如图所示，正方体ABCD A1B1C1D1的棱