专题3重难突破8 球的切、接、截面问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破8　球的切、接、截面问题 层级二　精准突破保分点 内容索引 球的截面问题 类型一 外接球问题 类型二 专　题　集　训 类型一　球的截面问题 01 返回 在正三棱锥P-ABC中，Q为BC中点，PA＝ ，AB＝2，过点Q的平面 截三棱锥P-ABC的外接球所得截面面积的取值范围为________． 例1 解决球的截面问题抓住以下几个方面： 1．球心到截面圆的距离． 2．截面圆的半径． 3．直角三角形(球心到截面圆的距离、截面圆的半径、球的半径构成的直角三角形)． 感悟提升 针对练1.设球O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体棱的中点作球O的截面，则最小截面的面积为 A．3π B．4π C．5π D．6π √ 针对练2.已知棱长为2的正方体ABCD -A1B1C1D1，球O与该正方体的各个面 相切，则平面ACB1截此球所得的截面的面积为________． 法二：因为正方体ABCD -A1B1C1D1的棱长为2，球O与该正方体的各个面相切，则球O的半径为1， 返回 02 返回 类型二　外接球问题 考向1　墙角模型 (1)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为 例2 √ 因为点E，F分别为PA，AB的中点， 12 (2)(2023·山东枣庄二调)已知三棱锥P-ABC的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为2，则S△PAB＋S△PAC＋S△PBC的最大值为____． 8 墙角模型是三棱锥中有一条侧棱垂直于底面且底面是直角三角形的一类模型，常用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长．若长方体同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球半径为R，则(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝ .常见的有以下三种类型： 感悟提升 考向2　对棱相等模型 在三棱锥A-BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三 棱锥ABCD外接球的表面积为________． 例3 对棱相等模型是三棱锥中三组对棱长分别相等的一类模型，常用构造法(构造长方体)解决，外接球的直径等于长方体的体对角线长，如图所示，(2R)2＝a2＋b2＋c2(长方体的长、宽、高分别为a，b，c)，即R2＝(x2＋y2＋z2)，如图： 感悟提升 考向3　汉堡模型 在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝AC，侧棱AA1⊥底面ABC，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O的表面上，且球O的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为 例4 √ 汉堡模型是直三棱柱、圆柱的外接球模型，模型如下： 感悟提升 例5 考向4　垂面模型 已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在球O的球面上，SD⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD且满足AB＝2AD＝2DC＝2，且∠DAB＝ ，SC＝ ，则球O的表面积是 A．5π B．4π C．3π D．2π √ 感悟提升 考向5　切瓜模型 (2023·山东济宁一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1，D为线段A1B1的中点，E为线段CC1的中点，A1E过△AC1E的内切圆圆心，且AD⊥DC1，CA＝ ，AB＝2，则三棱锥D-ABC的外接球表面积为 例6 √ 切瓜模型是有一侧面垂直底面的棱锥模型，常见的是两个互相垂直的面都是特殊三角形，在三棱锥A-BCD中，侧面ABC⊥底面BCD，设三棱锥的高为h，外接球的半径为R，球心为O，△BCD的外心为O1，O1到BC的距离为d，O与O1的距离为m，△BCD和△ABC 感悟提升 针对练3.(2023·广东广州一模)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2 ，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为 √ 28 √ 31 针对练5.在边长为6的菱形ABCD中，∠A＝ ，现将△ABD沿BD折起，当三棱锥A-BCD的体积最大时，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为________． 60π 32 考点三　内切球问题 (1)(2023·四川成都三诊)《九章算术》中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥PABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝BC＝4，AB＝3，AB⊥BC，若三棱锥PABC有一个内切球O，则球O的体积为 √ 例7 (2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1＝AB＝6，BC＝8，AC＝10，则该三棱柱内能放置的最大球的表面积是 A．16π B．24π C．36π D．64π √ 感悟提升 针对练6.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球 的体积为______． 圆锥内半径最大的球即为圆锥的内切球，设其半径为r.作出圆锥的轴截面PAB，如图所示