专题2重难突破5 裂项相消问题新视角（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破5　裂项相消问题新视角 层级二　精准突破保分点 内容索引 指数型 类型一 无理型 类型二 专　题　集　训 通项裂项为“＋”型 类型三 类型一　指数型 01 返回 已知正项递增的等比数列{an}满足a1＋a3＝30，a2＝9. (1)求数列{an}的通项公式； 例1 设等比数列{an}的公比为q， 因为数列{an}为正项递增的等比数列，所以q＞1， 所以等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×3n－1＝3n. 由(1)知an＝3n， 常见指数型裂项： 感悟提升 针对练1.已知数列{an}为等比数列，且a6＝3a4＋16，a3＝3a1＋2. (1)求{an}的通项公式； 则等比数列{an}的通项公式为an＝2n. 返回 02 返回 类型二　 无理型 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S5＝25，且3Sn＋1－an＝2Sn＋ Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； 例2 由3Sn＋1－an＝2Sn＋Sn＋2，得－an＝2Sn－3Sn＋1＋Sn＋2＝2Sn－2Sn＋1＋Sn＋2－Sn＋1＝－2an＋1＋an＋2，即2an＋1＝an＋an＋2， 所以数列{an}为等差数列， 由S5＝5a3＝25得a3＝5，设公差为d，a3＝5＝a1＋2d＝1＋2d，得d＝2， 所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1， 故数列{an}的通项公式为an＝2n－1. 常见的无理型裂项： 感悟提升 (1)求{an}的通项公式； 整理得(an＋1＋an)(an＋1－an)＝2(an＋1＋an)，由于an＋1＋an≠0， 所以an＋1－an＝2， 故数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1. 返回 类型三　通项裂项为“＋”型 03 返回 (2023·山东菏泽一模)已知首项不为0的等差数列{an}，公差d≠0，at＝0(t为给定常数)，Sn为数列{an}的前n项和，且Sm1＝Sm2(m1<m2)，{bn}为m2－m1所有可能取值由小到大组成的数列． (1)求bn； 例3 由题意得，at＝a1＋(t－1)d＝0，得a1＝(1－t)d①， 由m2－m1＝－2m1＋2t－1，当m1在1≤m1≤t－1范围内取值时，m2－m1的所有取值为2t－3，2t－5，…，5，3，1. 所以bn＝2n－1(1≤n≤t－1)． 常见的通项裂项为“十”型： 感悟提升 针对练3.已知在数列{an}中，an＞0，a1＝1，Sn为其前n项和，且满足(Sn＋Sn－1)(Sn－Sn－1)＝1(n≥2)． (1)求数列{an}的通项公式； 返回 专题集训 返回 04 1．已知数列{an}的前n项和为Sn，其中a1＝1，S2＝5，当n≥2时，an＋1，2Sn，4Sn－1成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； 依题意，当n≥2时，an＋1＋4Sn－1＝4Sn，故an＋1＝4Sn－4Sn－1＝4an，由a1＝1，S2＝5得a2＝4，a2＝4a1，故数列{an}是以1为首项，4为公比的等比数列，则an＝4n－1. 2 3 4 1 证明：依题意， 2 3 4 1 2．已知数列{an}满足a1＝1， 数列{bn}是等比数列，并满足b1＝2，且b1－1，b4，b5－1成等差数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 由已知a1＝1，nan＝(n＋1)an＋1，所以{nan}是常数列，nan＝1·a1＝1，故an＝ .设{bn}的公比是q，由已知得2b4＝(b1－1)＋(b5－1)，所以4q3＝2q4，所以q＝2，故bn＝2n. 2 3 4 1 2 3 4 1 3．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1＝2，Sn＋1＝Sn＋4an－3，记bn＝log2(an－1)＋3. (1)求数列{bn}的通项公式； 由Sn＋1＝Sn＋4an－3，得Sn＋1－Sn＝4an－3. 所以an＋1＝4an－3，则an＋1－1＝4(an－1)．所以a1－1＝2－1＝1， 所以数列{an－1}是以1为首项，4为公比的等比数列， 所以an－1＝4n－1＝22n－2(n∈N*)．因为bn＝log2(an－1)＋3， 所以bn＝log222n－2＋3＝2n＋1(n∈N*)． 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 4．已知正项等差数列{an}满足a3n＝3an(n∈N*)，且2a1，a3＋1，a8成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d，由a3n＝3an，得a1＋(3n－1)d＝3[a1＋(n－1)d]，则a1＝d，所以an＝a1＋(n－1)d＝nd. 因为2a1，a3＋1，a8成等比数列， 所以(a3＋1)2＝2a1·a8，即(3d