专题2.2 数列求和及综合应用（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

第二讲　数列求和及综合应用 内容索引 引领 高考价值 01 提升 关键能力 02 专 题 集 训 03 高考价值　引领 01 返回 1．(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地 A．b1<b5 B．b3<b8 C．b6<b2 D．b4<b7 √ √ 3．(2020·全国Ⅰ卷)数列{an}满足an＋2＋(－1)nan＝3n－1，前16项和为540，则a1＝ ________． 7 an＋2＋(－1)nan＝3n－1，当n为奇数时，an＋2＝an＋3n－1；当n为偶数时，an＋2＋an＝3n－1.a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92，又a3＝a1＋2，a5＝a1＋10，a7＝a1＋24，a9＝a1＋44，a11＝a1＋70，a13＝a1＋102，a15＝a1＋140，设数列{an}的前n项和为Sn，S16＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a16＝a1＋a3＋a5＋…＋a15＋(a2＋a4＋…＋a14＋a16)＝a1＋(a1＋2)＋(a1＋10)＋(a1＋24)＋(a1＋44)＋(a1＋70)＋(a1＋102)＋(a1＋140)＋92＝8a1＋392＋92＝8a1＋484＝540，所以a1＝7. 4．(2023·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和，已知a2＝1，2Sn＝nan. (1)求{an}的通项公式； 因为2Sn＝nan， 当n＝1时，2a1＝a1，即a1＝0， 当n＝3时，2(1＋a3)＝3a3，即a3＝2， 当n≥2时，2Sn－1＝(n－1)an－1， 所以2(Sn－Sn－1)＝nan－(n－1)an－1＝2an， 化简得(n－2)an＝(n－1)an－1， 当n≥3时， 即an＝n－1， 当n＝1，2时都满足上式，所以an＝n－1(n∈N*)． 1．数列求和重点考查分组转化、错位相减、裂项相消三种求和方法． 2．数列的综合问题，一般以等差数列、等比数列为背景，与函数、不等式相结合，考查最值、范围以及证明不等式等． 3．以选择题、填空题及解答题的形式出现，难度中等． 返回 考情分析 02 返回 关键能力　提升 例1 考点一　数列求和 考向1　分组转化法求和 (2023·山东济南一模)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1－(n＋1)an＝1. 所以bn＋1＝bn，所以{bn}是常数数列． 感悟提升 1．分组转化求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和．注意在含有字母的数列中对字母的讨论． 2．分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)若数列{cn}的 通项公式为cn＝ 且数列{an}，{bn}可分别求和，则采用 分组法求数列{cn}的前n项和；(3)若数列的通项式中有(－1)n等特征， 根据正号、负号分组求和或者并项求和． 感悟提升 针对练1.(2023·重庆三模)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝2Sn＋1(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式； 因为Sn＋1＝2Sn＋1，所以Sn＋1＋1＝2(Sn＋1)，又S1＋1＝a1＋1＝2， 所以数列{Sn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列， 所以Sn＋1＝2×2n－1＝2n，即Sn＝2n－1， 当n≥2时，Sn－1＝2n－1－1，所以an＝Sn－Sn－1＝2n－1－2n－1＋1＝2n－1， 当n＝1时，a1＝1也满足， 故an＝2n－1，n∈N＋. (2)设bn＝anan＋1＋log2(anan＋1)(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和． bn＝anan＋1＋log2(anan＋1)＝2n－1·2n＋log2(2n－1·2n)＝22n－1＋2n－1， 所以数列{bn}的前n项和为21＋23＋25＋…＋22n－1＋1＋3＋5＋…＋2n－1 考向2　裂项相消法求和 (2023·山东泰安一模)已知等差数列{an}是递增数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3＝12，a6，a3， 成等比数列． (1)求an； 例2 设等差数列{an}的公差为d，d>0， 所以a1＝d＝2，故an＝2n. 所以an＋2Sn＝2n2＋4n＝2n(n＋2)， 裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消． 感悟提升 针对练2.(2023·广东湛江一模)已知Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2an－4n＋2. (1)证明：数列{an＋4}为等比数列； 因为a1＝S1＝2a1－4×1＋2，所以a1＝2，a1