专题1重难突破1 平面向量的最值与范围问题（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

重难突破1　平面向量的最值与范围问题 层级二　精准突破保分点 　　平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同　时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法． 内容索引 求数量积的最值(范围) 类型一 求参数的最值(范围) 类型二 专　题　集　训 求向量模、夹角的最值(范围) 类型三 类型一　求数量积的最值(范围) 01 返回 以正六边形ABCDEF中心O为原点建立平面直角坐标 系如图所示，AB，DE交y轴于G，H，则C(2，0)， 例1 　　　(1)(2023·山东日照一模)已知正六边形ABCDEF的边长为2，P是正六边形ABCDEF边上任意一点，则　　　的最大值为 A．13　　　　　B．12　　　　　C．8　　　　　D． √ (2)(2023·全国乙卷)已知⊙O的半径为1，直线PA与⊙O相切于点A，直线PB与⊙O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|＝　　　　　　的最大值为 √ 向量数量积最值(范围)问题的解题策略 1．形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断． 2．数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 感悟提升 返回 02 返回 类型二　求参数的最值(范围) 例2 √ √ 　　平面向量中涉及系数的范围问题时，要注意利用向量的模、数量积、夹角之间的关系，通过列不等式或等式得关于系数的关系　式，从而求系数的取值范围．　　 感悟提升 针对练2．在正六边形ABCDEF中，点G为线段DF(含端点)上的动点，若 　　　　　　　(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是________. [1，4] 返回 03 返回 类型三　求向量模、夹角的最值(范围) 例3 　 　(1)(2023·广东韶关高三联考)已知单位向量a，b，若对任意实数x，　|xa＋b|≥ 　恒成立，则向量a，b的夹角的取值范围为 √ (2)(2023·广东肇庆二模)设A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点， 1．找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]. 2．若a·b>0，包括向量a，b的夹角为锐角和a，b同向共线，同理若a·b<0，包括向量a，b的夹角为钝角和a，b反向共线．　　 感悟提升 可设e＝(1，0)，a＝(x，y)，则(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)＝x2－6x＋5＋y2＝0，即(x－3)2＋y2＝4，则1≤x≤5，－2≤y≤2，|a＋e|＝　　　　　　　　　　，当x＝5时，　　　取得最大值为6，即|a＋e|的最大值为6.故选C． 针对练3．已知e为单位向量，向量a满足：(a－e)·(a－5e)＝0，则|a＋e|的最大值为 A．4　　　　　B．5　　　　　C．6　　　　　D．7 √ 针对练4．在平行四边形ABCD中，　　　　　　　　　　　　　，则　cos ∠BAD的取值范围是_____________. 返回 专 题 集 训 返回 04 1．(2023·江苏泰州模拟)若向量a，b互相垂直，且满足(a＋b)·(2a－b)＝2，则|a＋b|的最小值为 A．－2　　　　B．1　　　　C．2　　　　D． √ 由题设，a·b＝0且(a＋b)(2a－b)＝2a2－a·b＋2a·b－b2＝2a2－b2＝2，所以a2＝　　　，而|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝　　　≥1，当|b|＝0时等号成立，所以|a＋b|min＝1.故选B． 2 3 4 5 6 7 8 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 以点O为原点，AB为x轴，垂直于AB的直线为y轴，建 立平面直角坐标系，如图所示，不妨取C(1，0)，则 2 3 4 5 6 7 8 1 3．(2023·山东青岛三模)已知向量a，b，c满足：|a|＝|b|＝1，a·(a－b)＝　，(b－c)·(3b－c)＝0，则|a－c|的最小值为 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4．(2023·山东烟台模拟)已知△ABC为等边三角形，AB＝2，△ABC所在平 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 5．(2023·广东广州模拟)“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．如图，已知圆O的半径为2，点P是圆O内的定点，且OP＝　，弦AC，BD均过点P，则下列说法不正