专题1拓展培优2 奔驰定理与三角形的四心（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

拓展培优2　奔驰定理与三角形的四心 层级二　精准突破保分点 1．奔驰定理：设O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分 2．奔驰定理在三角形四心中的具体形式： 内容索引 平面向量与三角形的重心 类型一 平面向量与三角形的垂心 类型二 专　题　集　训 平面向量与三角形的内心 类型三 平面向量与三角形的外心 类型四 类型一　平面向量与三角形的重心 01 返回 是△ABC的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 例1 √ 设O是△ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下结论： 返回 感悟提升 √ 02 返回 类型二　平面向量与三角形的垂心 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 例2 √ 设O是△ABC的垂心，则有以下结论： 感悟提升 A．在AB边的高所在的直线上 B．在∠C平分线所在的直线上 C．在AB边的中线所在的直线上 D．是△ABC的外心 √ 类型三　平面向量与三角形的内心 03 返回 P过△ABC的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 例3 √ 设O是△ABC的内心，则有以下结论： 返回 感悟提升 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 √ 类型四　平面向量与三角形的外心 01 返回 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 例4 √ 设O是△ABC的外心，则有以下结论： 返回 感悟提升 专题集训 返回 05 A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 点O是△ABC的 A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 √ 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 √ 5．对于△ABC，其外心为O，重心为G，垂心为H，则下列结论不正确的是 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 √ 则S△ABC∶S△PBC等于 A．14∶3 B．19∶4 C．24∶5 D．29∶6 2 3 4 5 6 7 8 1 7．已知点G为△ABC的重心，点D，E，F分别为AB，BC，CA的中点．若 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 1 谢谢观看 别记作SA，SB，SC，则SA·＋SB·＋SC·＝0. (1)O是△ABC的重心⇔SA∶SB∶SC＝1∶1∶1⇔＋＋＝0. (2)O是△ABC的内心⇔SA∶SB∶SC＝a∶b∶c⇔a·＋b·＋c·＝0. (3)O是△ABC的外心⇔SA∶SB∶SC＝sin 2A∶sin 2B∶sin 2C⇔sin 2A·＋sin 2B·＋sin 2C·＝0. (4)O是△ABC的垂心⇔SA∶SB∶SC＝tan A∶tan B∶tan C⇔tan A·＋tan B·＋tan C·＝0. 在△ABC中，非零向量，，满足＋＋＝0，则点O 根据题意，设BC的中点为D，则＋＝2，若＋＋＝0，则有＝－2，则O在BC的中线AD上．同理，O在AC和AB的中线上，故O是△ABC的重心．故选C． 1．＋＋＝0. 2．＝(＋＋)． 3．若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P一定经过三角形的重心． 4．若＝λ(＋)，λ∈[0，＋∞)，则P一定经过三角形的重心．　　 针对练1.在△ABC中，A＝，G为△ABC的重心，若·＝·＝6，则△ABC外接圆的半径为 A． B． C．2 D．2 因为G为△ABC的重心，·＝·＝6，所以(＋)·＝6，且(＋)·＝6，所以||＝||.又A＝，所以△ABC是等边三角形，由2＋·＝18，得||2＋||·||cos＝18，解得||＝2，故||＝2，又根据正弦定理＝2R，则R＝＝＝2.故选C． 在△ABC中，若·＝·＝·，则点O是△ABC的 因为·＝·，所以·(－)＝0，所以·＝0，所以⊥，所以OB⊥CA，同理可得OA⊥BC，OC⊥AB．故点O是△ABC的垂心．故选D． 1.·＝·＝·. 2．||2＋||2＝||2＋||2＝||2＋||2. 3．若动点P满足＝λ，λ∈(0，＋∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的垂心．　　 针对练2.已知O是△ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则点O 取AB的中点D，由题意，·(＋)＝－||2＋||2＝(＋)2－(＋)2＝2·，所以·2＝·(－2)，所以·2＝0，所以⊥，所以点O在AB边的高所在的直线上．故选A． 在△ABC中，平面内一动点P满足＝＋λ，则动点 因为，分别表示，方向上的单位向量，所以＋的方向与∠BAC的角平分线一致．因为＝＋λ，所以＝λ，所以的方向与∠BAC的角平分线一致，所以一定通过△ABC的内心．故选A． 1．||＋||＋||＝0(或a