送分点5 基本不等式（课件）-【金版新学案】2024高考文科数学大二轮专题复习与测试（老教材）

送分点5　基本不等式 层级一　自主练透送分点 设矩形模型的长和宽分别为x cm，y cm，则x>0，y>0，由题意可得2(x＋ y)＝8，所以x＋y＝4，所以矩形模型的面积　　　　　　　　　　　　， 当且仅当x＝y＝2时取等号，所以当矩形模型的长和宽都为2 cm时，面积最大，最大值为4 cm2.故选C． 1．用一段长8 cm的铁丝围成一个矩形模型，则这个模型面积的最大值为 A．9 cm2 B．16 cm2 C．4 cm2 D．5 cm2 题组自练 √ 2．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是 A．y＝x2＋2x＋4   C．y＝2x＋22－x √ 选项A，因为y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3，所以当x＝－1时，y取得最小值，且ymin＝3，所以选项A不符合题意． 选项B，因为　　　　　　　　　　　　　　　　所以y≥4，当且仅当　　　　　　，即|sin x|＝2时不等式取等号，但是根据正弦函数的有界性可知|sin x|＝2不可能成立，因此y>4，所以选项B不符合题意． 选项C，因为　　　　　　　　　　　　，当且仅当2x＝22－x，即x＝2－x，x＝1时不等式取等号，所以ymin＝4，所以选项C符合题意． 选项D，当0<x<1时，ln x<0，　　　　　　，所以选项D不符合题意．综上，所给函数中最小值为4的是选项C中的函数．故选C． 3．已知P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，则当　　　取最小值时，a2的值为 √ √ 5．正实数x，y满足　　　　　　　　　　　　　　　恒成立，则实数m的取值范围是 A．(－4，1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1，4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) √ 6．(2023·宁夏银川检测)已知x>0，y>0，x＋2y＋xy－6＝0，则下列说法不正确的是 A．xy的最大值为2 B．x＋2y的最小值为4 C．x＋y的最小值为3 D．x＋y的最小值为 √ 对于C，D，令x＋y＝m，m>0，则y＝m－x，则x＋2y＋xy－6＝0可化为x＋2(m－x)＋x(m－x)－6＝0，整理得x2＋(1－m)x＋6－2m＝0，因为此方程一定有解，所以Δ≥0，即(1－m)2－4(6－2m)≥0，解得m≥ 　－3，或m≤－ 　－3(舍)，故C错误，D正确．故选C． 7．(2021·上海卷)已知函数　　　　　　　　　　的最小值为5，则a＝__. 9 8．(2022·新高考Ⅱ卷改编)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论正确的是______. ①x＋y≤1；②x＋y≥－2；③x2＋y2≤2；④x2＋y2≥1. ②③ 利用基本不等式求最值的解题技巧 1．凑项：通过调整项的符号，配凑一些项，使其积或和为定值． 2．凑系数：若无法直接利用基本不等式求解，可以通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值． 3．“1”的代换：先把已知条件中的等式变形为“1”的表达式，再把“1”的表达式与待求最值的表达式相乘，通过变形构造和或积为定值的代数式求最值． 4．换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子裂项或将分母换元后将式子转化，即化为　　　　　　　　　　　，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值． 练后悟通 应用基本不等式求最值的注意点 (1)此结论应用前提是“一正”“二定”“三相等”．“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立． (2)连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立． 易错提醒 谢谢观看 S＝xy≤＝＝4(cm2) B．y＝|sin x|＋ D．y＝ln x＋ 　y＝ln x＋<0 　y＝|sin x|＋≥2＝4， |sin x|＝ 　y＝2x＋22－x≥2＝4 ＋ A．　　　　B．2　　　　C．　　　　D．3 因为P(a，b)为圆x2＋y2＝4上任意一点，所以a2＋b2＝4.所以＋＝(＋)(a2＋b2)＝(5＋＋)≥(5＋2)＝，当且仅当b2＝2a2＝时取等号，故a2＝.故选C． 4．(2023·山东菏泽一模)设实数x，y满足x＋y＝1，y>0，x≠0，则＋的最小值为 A．2－1　　　 B．2＋1　　　 C．－1　　　 D．＋1 当x>0时，＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝2＋1，当且仅当＝，即x＝－1，y＝2－时等号成立，此时有最小值2＋1；当x<0时，＋＝＋＝＋－1≥2－1＝2－1，当且仅当＝，即x＝－1－，y＝2＋时等号成立，此时有最小值2－1，所以＋的最小值为2－1.故选A． ＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m 正实数x，y满足＋＝1，则x＋＝(x＋)(＋)＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝4x且＋＝1时，等号成立，则x＝2，y＝8时，x＋取到最小值4，要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，即m2－3m≤4，解得－1≤