小升初 平面图形（讲义）2023-2024学年六年级下册数学人教版

第二节 平面图形 小学梳理 在小学阶段，所认识的平面图形分类如下： 一、图形的特征 在小学阶段，通过直接用实际的图例告诉我们是平面图形，并对各种常见的平面图形的特征作了深入的探究，但没有给各种图形下抽象的定义。 三角形：由 3 条边(线段)首尾顺次相接组成的封闭图形。三角形有3 个顶点，3个角。 锐角三角形：3个角都是锐角的三角形。 直角三角形：有一个角是直角的三角形。 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。 等腰三角形：有2条边或2个角相等的三角形。 等边三角形：3条边或3个角都相等的三角形。 四边形：由4条边(线段)首尾顺次相接组成的封闭图形。 四边形有4个顶点，4个角。 平行四边形：两组对边分别平行的四边形。 长方形：两组对边分别平行且4个角都是直角的四边形。 正方形：4条边相等、两组对边分别平行且4个角都是直角的四边形。 梯形：只有一组对边平行的四边形。 圆：由曲线组成的封闭图形，并且曲线上的每一点到圆心的距离一样长。 扇形：是圆的一部分，由两条半径和一条曲线组成的封闭图形。 圆环：是指两个大小不同的同心圆，小圆曲线和大圆曲线之间的部分。 二、图形相关的规律和性质 三角形的稳定性：任意一个三角形，只要3 条边的长度确定了，这个三角形的形状和大小也就完全确定了。 三角形的内角和：任意一个三角形的内角和都等于 180°。 三角形的边的性质：在一个三角形中，任意两条边的和大于第三条边。 四边形的内角和：任意一个四边形的内角和都等于 360°。 四边形的不稳定性：四边形的不稳定性在实际生活中有广泛的应用，如伸缩门、升降机。 正方形的特殊性：它是特殊的长方形，也是特殊的平行四边形，更是特殊的四边形。 圆的性质：在一个圆中，可以画无数条半径和直径，并且半径始终是直径的一半，圆是有无数条对称轴的对称图形。 三、图形的周长与面积 周长是指围成平面图形的线的总长，面积是指平面图形所围平面的大小。 周长和面积的计算： 三角形的周长：是指围成三角形的三条边的长度和。 ① 三条边分别为a、b、c的一般三角形的周长是a+b+c； ② 三条边分别为a、a、c的等腰三角形的周长是 2a+c； ③ 三条边都为a的等边三角形的周长是 3a。 三角形的面积：因为任意两个相同的三角形可以拼成一个平行四边形，而拼成的平行四边形的底就是三角形的一条底边，拼成的平行四边形的高和三角形与那条底边对应的高相等，所以计算三角形的面积只需要知道一条底边 a 和与这条底边对应的高h，就可以求出，列式为 ah。 四边形的周长：围成四边形的四条边的长度和。 ① 四条边分别为a、b、c、d的一般四边形的周长是a+b+c+d; ② 四条边分别为a、b、a、b的平行四边形(长方形)的周长是(a+b)×2; ③ 四条边都为a的正方形的周长是4a。 四边形的面积：是指四条边围成的平面图形的大小。 ① 因为要知道任意长方形的面积的大小，就要用面积单位(1平方厘米、1平方分米、1平方米)去度量。从而发现，在长方形里每排可以排a个面积单位，可以排b排，所以长方形的面积大小就有 ab个面积单位，列式为ab。 ② 长和宽相等的长方形(即正方形)的面积大小有a×a个面积单位，列式为 a²；任意一个平行四边形可以通过割补拼成一个长方形，而拼成的长方形的长就是平行四边形的底，长方形的宽和平行四边形这条底边上的高相等，所以计算平行四边形的面积只需要知道一条底边a和与这条底边对应的高h，就可以求出，列式为 ah。 ③ 任意两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形，而拼成的平行四边形的底就是梯形的上底a与下底b的和，拼成的平行四边形的高和梯形的高h相等，所以计算梯形的面积只需要知道梯形的上底a、下底b和梯形的高h，就可以求出，列式为 圆的周长：围成圆的曲线的长度。因为任意一个圆的周长都是这个圆的直径的π倍，当我们知道一个圆的直径d或半径r时，就可以计算出这个圆的周长。即：圆的周长=πd或圆的周长=2πr。 半圆的周长：围成半圆的曲线和线段的长度和。因为半圆的周长包括了和半圆直径相等的圆的周长的一半，还包括了这条直径的长，所以当我们知道这个半圆的直径d时，就可以计算出半圆的周长。 即：半圆的周长=πd÷2+d或半圆的周长=πr+2r。 圆的面积：是指圆的曲线所围成的平面图形的大小。我们知道把一个圆平均分成若干份，剪开后就得到若干个近似的等腰三角形，用这些近似的等腰三角形可以拼成一个近似的平行四边形(或大三角形或梯形等)，分的份数越多，拼成的图形就越接近于长方形，这个近似长方形的长等于半径为r的圆的周长的一半 宽等于这个圆的半径r，所以，只要知道一个圆的半径(或直径、周长)就能计算出这个圆的面积，列式为πr²或 或 典型例题 【例】 已知一个圆的周长是12.56 厘米，这个圆的面积是多少平方厘米? 【分析