6.3.2 二项式系数的性质-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

数学选择性必修第三册课堂学案 随堂检测·学以致用 答案见Pm 1若+) 的展开式有16项，则自然数n (2)第4项的系数： (3)常数项。 的值为 A.9 B.10 C.11 D.16 2.() 的展开式中常数项为 A.-60 B.-15 C.15 D.60 (2r- 的展开式的中间项是 4在(2x+ 的展开式中，求： (1)第4项的二项式系数： 提示完成P,课时作业（七） 6.3.2二项式系数的性质 必备知识·基础落实 答案见P型 口问题导入 问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么 规律？ (a十b)”的展开式的二次项系数，当n分别取 1,2,3,4,5,6时可以表示成如下形式： (a+b)' …11 (a+b)2 …121 (a十b)3…1331 (a十b)1…14641 (a十b)5 …15101051 问题3：二项式系数的最大值有何规律？ (a+b)5 …1615201561 问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什 么规律？ ·32· 第六章计数原理 口微梳理 右 要点一 二项式系数的性质 性质 内容 在(a十b)”的展开式中，与首末两端 对称性 “等距离”的两个二项式系数相等，即 C=C 四⊙ O( ① ①国⊙ 当k<"空时，C随长的增加 曰园 国© 而增大： 中 右 增减性 当公”十旦 而 東商方 者皆康 乃 时，C随k的增加 而减小 图2 增减性与 最大值 2.特点 当n是偶数时，中问的一项 (1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1 C取得最大值： 等距离的项的系数相等 最大值 当n是奇数时，中间的两项 (2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等 c 相等，且同时取得 于它“肩上”两个数的和，即C1=C1十C 最大值 》思考：系数最大的项一定是二项式系数最大的 ①C十C+Cg+…十C=2: 项吗？ 各二项式 ②C+C+C+…=C+C+Cm+…= 系数的和 2”,即奇数项的二项式系数的和等于 偶数项的二项式系数的和 要点二 杨辉三角 1.概念 在探究(a十b)”的展开式的二项式系数性质 时，我们曾把系数写成一张表（图1），借助它发 现了系数的一些规律.事实上，在我国南宋数 学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书 中，就已经出现了这个表.所不同的只是这里 析 的表用阿拉伯数字表示，在那本书里是用汉字 判断正误，正确的画“、/”，错误的画“X” 表示（图2）的.我们称这个表为杨辉三角. ()二项展开式中系数最大项是中间一项（共 +…12 奇数项)或中间两项（共偶数项）. () +…………1 3 3 (2)二项展开式的偶数项系数和等于奇数项系 a+3.……1464 数和. () (a+b3.…1510]051 (3)二项展开式项的系数是先增后减的.() (a+b…161520156 1 (4)杨辉三角中每行（除第一行外）两端的数都 图1 是1. () ·33· 数学选择性必修第三册课堂学案 关键能力·素养提升 答案见Pm 探究一 二项展开式中系数的最值问题 (2)求展开式中系数最大的项：如求(a十bx)“ 【例题】已知二项式(}+2x: (a,b∈R)的展开式中系数最大的项，一般是 (1)求展开式中二项式系数最大的项的系数： 采用待定系数法，设展开式中各项系数分别 (2)求展开式中系数最大的项。 为A,A1,A2,…,Am,且第(r十1)项系数最大， A>A”解出八即得系数最大的项。 应用 A>≥A+ [注意]二项式系数与项的系数是两个不同 的概念，二项式系数是组合数，仅与二项式的 指数及项数有关，一定为正，而项的系数与二 项式的指数、项数及字母的系数均有关，可正 可负 【变式1】(1)在(2一3x)的展开式中，二项式系 数的最大值为 () A.Ci B.C C.-CIs D.-Cis 2-2） 的展开式中，系数最大的项为 A.第6项 B.第3项 C.第3项和第6项 D.第5项和第7项 规律总结 求二项展开式系数最大的项的方法 (1)求二项式系数最大的项：若n是偶数，则 中间一项，即第（受十1）项的二项式系数最 探究二二项展开式的系数和 大，即最大值是C;若n是奇数，则中间两 【例题2】设(23x)m-4十ax十.x十…十a.xm, 项，脚第”士项与第（空+1）项的二项式 求下列各式的值 2 (1)a: 系数相等且最大，即C=C且最大 (2)a1十a2十a3十a4十…十a1m: (3)a1十aa十ds十…+am: ·34· 第六章计数原理 (4)(ao十a2十+am)2-(a1十a十十a)2; 【变式2】(1)若(5x+4)2=ao十a1x+2x2+ (5)a|+|a+…+|awl. ax3,则(a6十a2)-(a1十a)= () A.-1 B.1 C.2 D.-2 (2)(mx十)“(n∈N)的展开