6.3.1 二项式定理-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第六章计数原理 6.3二项式定理 课标解读 学法指导 1.可以用两个计数原理分析(a十b)2的展开式，归纳得出二项式定理. 1.能用多项式运 2.从计数原理的角度思考、理解、证明二项式定理.事实上，二项式定理是两 算法则和计数 个计数原理的直接应用， 原理证明二项 3.二项式定理是一个恒等式，要善于观察，学会转化，合理使用二项式定理 式定理 和二项展开式的通项解决问题， 2.会用二项式定 4.学会从特殊到一般、从具体到抽象的思维方法，去开展探究活动，发现或 理解决与二项 证明数学结论 展开式有关的 5.通过学习二项式定理、二项式系数性质的探究及应用，发展逻辑推理、数 简单问题。 学运算和直观想象的核心素养。 6.3.1二项式定理 必备知识·基础落实 答案见P 日问题导入 问题3：你能用组合的观点说明（α十b)'是如何 展开的吗？ 问题1：我们在初中学习了(a+b)=a2+2ab+ ?,试用多项式的乘法推导(a十b)3,(a十b)的 展开式. 问题4：分析(a十b)3,(a+b)'展开式的特点， 猜测(a十b)"(n∈N)展开式的特点. 问题2：(a+b)3,(a十b)的展开式有何特点？ 27 数学选择性必修第三册课堂学案 微梳理 (2)二项式中，b能否交换位置，二项式 (a十b)与(b十a)”展开式中的第r十1项是否 要点二项式定理 相同？ L.二项式定理及其相关概念 (a+b)"=Ca"+Cla*+ 二项式定理 Ca"F十…十Ca"t, +…+Cb"(n∈N） 二项展开式 公式右边的多项式 二项式系数 二项展开式的通项 T+1= 析 2.二项展开式的特点 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×” (1)展开式共有n十1项 (1)二项式(a十b)2"的展开式的项数是2+1. (2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n. () (3)字母α的幂指数按降幂排列，从第一项开 (2)二项展开式中项的系数与二项式系数是相 始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指 等的. 数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项 (3)(x一1)°的展开式中x项的系数为-5. 加1直到为n () 》思考：(1)二项展开式中的项Cab是第几项？ (4)(a十b)”的展开式中一定有常数项.() 关键能力·素养提升 答案见Pm 探究一二项式定理的正用与逆用 规律总结 【例题】)求(2x+） 的展开式。 运用二项式定理的解题策略 (2)化简：(x-1)+5(.x-1)+10(x-1)3+10· (1)正用：求形式简单的二项展开式时可直 (x-1)2+5(x-1). 接由二项式定理展开，展开时注意二项展开 式的特点（即前一个字母是降幂，后一个字 母是升暴).形如(a一b)"的展开式中会出现 正负间隔的情况.对较繁杂的式子，先化简， 再用二项式定理展开 (2)逆用：逆用二项式定理可将多项式化简， 对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、 项数、各项暴指数的规律以及各项的系数 [注意]逆用二项式定理时，如果项的系数是 正负相间的，则原式是(a一b)"的形式. 【变式1】(1)已知C3+C3"1+C32+…+ C3+C%=1024,求n的值. ·28· 第六章计数原理 的展开式 规律总结 求二项展开式特定项的步骤 通项公式 化简 令的次数为 令x的次数为0 特定的作 求出的 袋出的院 r是否为 动 整效 晚定是第几项 存在 不弃 教项 常数项 [注意]若通项中含有根式，一般把根式化为 分数指数暴，以简化运算 【变式2】已知(。- 的二项展开式中常数 项为1120，则实数a的值是 () A.-1 B.1 C.±1 D.不确定 探究二二项展开式中的特定项问题 ②在二项式一》 的展开式中，求： 【例题2】(x-) 的展开式中的常数项是 ①第4项： ②有理项. A. B号 c n8 (2)(多选)若（匠+是）广 的展开式中含x 项，则n的值可能是 ( A.6 B.9 C.12 D.14 29 数学选择性必修第三册课堂学案 探究三二项式系数与项的系数问题 2- 的展开式中，第4项的二项式 【例题3】已知在（近-是广” 的展开式中，第6项 系数为 ,第4项的系数为 为常数项 (1)求n的值： (2)求含x2的项的系数： (3)求第4项的二项式系数及第4项的系数 口微专题 用方法·破解疑难 疑难一 求形如(a+b)"(c+d)"(m,n∈N)的 展开式中的量 【例题1】(1+是)1+x)°的展开式中r项的系 数为 () A.15 B.20 C.30 D.35 [解析](1十x)展开式的通项为T+1=Cx, 所以(1+是)·(1十x)°的展开式中2项为 1Cx2+是·Cx=30,即2项的系数 为30.故选C项. [答案]C 名师点评]求形如(a十b)"(c十d)”(m,n∈N) 规律总