6.2.4 第2课时 组合数的综合应用-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第三册（人教A版2019）

第六章计数原理 第2课时 组合数的综合应用 关键能力·素养提升 答案见P 探究一 有限制条件的组合问题 【变式1】(1)从5名男医生、4名女医生中选3名 【例题1】现有10名教师，其中男教师6名，女教 医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医 师4名.按下列要求各有多少种不同的选法？ 生都有，则不同的组队方案共有 () (1)选出2名教师去参加会议； A.140种 B.80种 (2)选出男、女教师各2名去参加会议： C.100种 D.70种 (3)选出2名教师去参加会议，至少有1名男 (2)本例条件不变，按下列要求各有多少种不 教师。 同的选法？ ①选出2名男教师或2名女教师去参加 会议： ②选出2名教师去参加会议，恰有1名男 教师； ③选出2名教师去参加会议，至多有1名男 教师. 规律总结 有限制条件的组合问题的解题原则和方法 (1)三大原则：先特殊后一般的原则、先取后 排的原则、先分类后分步的原则. (2)常用方法 ①直接法：坚持“特殊元素优先选取”“特殊 位置优先安排”的原则，优先安排特殊元素， 再安排其他元素 ②间接法：原则是“正难则反”，也就是当正 面问题分类较多较复杂或计算量较大时， 不妨从反面入手，特别是涉及“至多”“至少” 等组合问题时更是如此 ·23· 数学选择性必修第三册课堂学案 探究二几何中的组合问题 【变式2】(1)四面体的一个顶点为A,从其他顶 【例题2】平面内有12个点，其中有4个点共线， 点和各棱中点中取3个点，使它们和点A在 此外再无任何3点共线，以这些点为顶点，可 同一平面上，有多少种不同的取法？ 构成多少个不同的三角形？ (2)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异 于A,B的六个点C1,C2,…,C6,直径AB上 有异于A,B的四个点D1D2,D,D.则： D.D.D.D.B ①以这12个点（包括A,B)中的4个点为顶 点，可作出多少个四边形？ ②以这10个点（不包括A,B)中的3个点为 顶点，可作出多少个三角形？ 规律总结 444444444444444444444444444444 求解几何中组合问题的注意事项 (1)解决几何图形中的组合问题，首先应注 意运用处理组合问题的常规方法解决，其次 要注意从不同类型的几何问题中抽象出组 合问题，寻找一个组合的模型加以处理 (2)图形多少的问题通常是组合问题，要注 意共点、共线、共面、异面等情形，防止重复 计算，常用直接法，也可用排除法 ·24· 第六章计数原理 探究三分组、分配问题 【变式3】将2名教师，4名学生分成2个小组，分 【例题3】6本不同的书，按下列要求各有多少种 别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个 不同的选法？ 小组由1名教师和2名学生组成，不同的安 (1)分给甲、乙、丙三人，每人两本： 排方案共有 (2)分为三份，每份两本： A.12种 B.10种 (3)分为三份，一份一本，一份两本，一份 C.9种 D.8种 三本 探究四排列、组合的综合问题 【例题4】有5个男生和3个女生，从中选出5人 担任5门不同学科的科代表，求分别符合下 列条件的选法数. (1)有女生但人数必须少于男生： (2)某女生一定担任语文科代表： (3)某男生必须包括在内，但不担任数学科 代表 4年444+4444444444+444444年44444444444444+444444+44444444444444 规律总结 分组与分配问题的求解策略 (1)分清是分组问题还是分配问题很必要， 而判断是分组问题还是分配问题的关键要 看是否有分配对象，若没有分配对象，则为 分组问题，若有分配对象，则为分配问题.若 有确定的分配对象，则为定向分配问题，反 之，则为不定向分配问题， (2)分组问题属于“组合”问题，分配问题属 于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分 配，也可以分组后再分配 ·25· 数学选择性必修第三册课堂学案 地进行作业，每个工地至少派一辆，则不同的 规律总结 派法种数是 () 解决排列、组合综合问题 A.9 B.18 要遵循的原则及途径 C.27 D.36 (1)按事情发生的过程进行分步. (2)甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若 (2)按元素的性质进行分类.解决时通常从 每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不 三个途径考虑：①以元素为主考虑，即先满 区分站的位置，则不同的站法种数是() 足特殊元素的要求，再考虑其他元素：②以 A.90 B.120 位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求， C.210 D.216 再考虑其他位置：③先不考虑附加条件，计 算出排列或组合数，再减去不合要求的排列 或组合数， 【变式4】(1)某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混 凝土搅拌车各一辆，将它们全部派往3个工 随堂检测·学以致用 答案见P 1.一个口袋中装有大小