专题03 组合与组合数10种常见考法归类讲义（68题）-2025-2026学年高二下学期人教A版选择性必修第三册数学题型归纳与解题策略

【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题03 组合与组合数10种常见考法归类（68题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 组合概念的理解 考点二 利用组合公式化简与求值 考点三 与组合数有关的方程或不等式 考点四 与组合数有关的证明 考点五 简单的组合问题 考点六 有限制条件的组合问题 考点七 与几何图形有关的组合问题 考点八 分组、分配问题 考点九 相同元素隔板法 考点十 排列、组合的综合应用 知识点1 组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 2．组合数定义及公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．其中C＝＝. 3．组合的性质： 性质1：C＝； 性质2：C＝. 知识点2　排列与组合的关系 定义 计算公式 性质 联系 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)A＝n！； (2)0！＝1 C＝ 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示 C＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)C＝C＝1； (2)C＝C； (3)C＝C＋C 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 注：组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 策略方法 1.排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 2.组合公式的应用 (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*. (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C＝C；②C＝C＋C. 3.组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕． (2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解． 4.利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数． 5.有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 6.(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． (2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 7. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 8. 解答排列、组合问题的角度： 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 9. 有条件的排列问题大致分四种类型． (1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)． (4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法． 10．分组、分配问题的常见类型 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情形； (2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；　 (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形． 11．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．　 考点一 组合概念的理解 1．（2026高二·全国·课后作业）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 【答案】C 【分析】根据排列和组合的概念可确定选项. 【详解】A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. B. 从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. C. 从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式，与顺序无关，是组合问题. D. 从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员，顺序不同，结果不同，与顺序有关，是排列问题. 故选：C. 2．【多选】（2026高二·全国·课后作业）给出下列问题，是组合问题的是（   ） A．从四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 【答案】AC 【分析】根据有序与否，判断所述问题是排列问题还是组合问题. 【详解】对于A，2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．所以A正确. 对于B，2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．所以B错误. 对于C，单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．所以C正确. 对于D，冠亚军是有顺序的，是排列问题．所以D错误. 故选：AC. 3．（2026高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 【答案】C 【分析】根据组合的定义分别判断即可. 【详解】对于①，集合的元素与顺序无关，故①是组合问题； 对于②，从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动与顺序有关，故②是排列问题； 对于③，从7本不同的书中选出5本给某一个同学，与顺序无关，故③是组合问题； 对于④，因为飞机有起始站与终点站，故四个城市之间需要准备的飞机票的种数与顺序有关，故④是排列问题； 对于⑤，因为书是相同的，所以问题就等价于从5人中选出3人，故⑤是组合问题． 故选：C． 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 【答案】AB 【分析】根据组合的定义，CD与顺序有关，A存在等，不合要求，B选项，满足组合的定义. 【详解】因为减法与除法不满足交换律，取出的两个数与顺序有关， 所以C，D中问题不是组合问题． 因为加法与乘法满足交换律，取出的两个数与顺序无关， 所以相加问题是组合问题，相乘问题是组合问题． 故选：AB． 5．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 【答案】(1)组合问题 (2)排列问题；组合问题 (3)排列问题 (4)组合问题 【分析】根据排列与组合的定义进行判断即可. 【详解】（1）因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题. （2）因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题；但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题. （3）因为分工方法是从5种不同的工作中取出3种，按一定次序分给3个人去干，故是排列问题. （4）因为3本书是相同的，无论把3本书分给哪三人，都不需考虑他们的顺序，故是组合问题. 考点二 利用组合公式化简与求值 6．（2026高二·江苏镇江·期中）（    ） A．14 B．21 C．42 D．49 【答案】B 【详解】. 7．（2026高二·重庆·期中）计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 【答案】A 【详解】. 8．（2026高二·山东济南·期中）___________． 【答案】 【详解】. 9．（2026高二·湖北武汉·期中）__________. 【答案】 【详解】 10．（2026高二·北京海淀·期中）___________．（用数字作答） 【答案】330 【详解】. 考点三 与组合数有关的方程或不等式 11．（2026高二·河北衡水·期中）已知，则__________（用数字作答）. 【答案】 【分析】利用排列数和组合数公式可得出关于的等式，结合可求得的值. 【详解】由得，因为，解得. 12．（2026高二·河南许昌·期中）若，则（   ） A．20 B．21 C．27 D．42 【答案】C 【分析】借助组合数性质计算可得，再利用组合数与排列数公式计算即可得解. 【详解】由，则或， 解得或，由，故， 则. 13．（2026高二·江苏镇江·期中）若，则__________． 【答案】6或2 【详解】由组合数的性质可知：或， 解得或2，经检验均满足题意. 14．（2026高二·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 【答案】3（答案不唯一） 【分析】借助组合数定义及性质计算即可得. 【详解】因为，则使得的可取. 15．（2026高二·全国·课堂例题）解不等式：. 【答案】 【分析】利用组合数的性质和计算公式进行求解即可. 【详解】，. .. ∴，. ∴不等式的解集为. 16．（2026高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 【答案】（1）280；（2） 【分析】（1）利用排列数和组合数的公式计算；（2）利用组合数运算求解. 【详解】（1）； （2）由题意可得，解得，且， 由，可得，解得， 又因为，所以，故不等式的解集为. 17．（2026高二·全国·单元测试）（1）已知，，求的值； （2）求满足的最大正整数． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用排列数公式可得出关于的等式，结合的取值范围可得出的值； （2）解法一：利用组合数的性质得出，利用二项式系数和可得出关于的不等式，令，再结合数列的单调性可得出满足题设条件的最大正整数的值； 解法二：由二项展开式得出，等式两边求导化简得出，令，再结合数列的单调性可得出满足题设条件的最大正整数的值. 【详解】（1）因为，所以， 化简得，即，解得或， 因为，所以． （2）法一：因为， 其中，，， 所以， 即，所以， 令，其中，则， 所以， 即，即数列为递增数列， 因为，，即， 故满足不等式的正整数的最大值为； 法二：因为， 两边同时对求导得， 令，得， 令，其中，则， 所以， 即，即数列为递增数列， 因为，，即， 故满足不等式的正整数的最大值为. 考点四 与组合数有关的证明 18．（2026高二·安徽合肥·期中）已知，且，则下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用排列、组合数公式，逐一化简验证各选项等式两边是否相等，判断正误. 【详解】对于选项A,由，，得，故A正确； 对于选项B，由，得，故B正确; 对于选项C,例如则即，故C不正确； 对于选项D，因为， 所以，故D正确。 19．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据排列数、组合数的性质或排列数、组合数的计算公式即可求解. 【详解】根据组合数的性质或组合数的计算公式， 所以 ，所以A选项正确； ， ， 所以，所以B选项正确； ，而，所以C选项错误； ， ，所以D选项正确． 20．【多选】（2026高二·安徽·期中）下列各项中，正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由组合数计算公式、组合数性质、排列数计算公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，因为，A正确； 对于选项B，根据组合数性质知道，B错误； 对于选项C，，， 因此，C正确； 对于选项D，全班n个男生n个女生，选取n个人留下来搞卫生， 左边是从性别的角度考虑，用分类加法得， 所以.D正确. 21．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的性质证明即可. 【详解】因为，故， 同理， 又，所以， 即． 22．（2026高二·全国·专题练习）证明组合数性质； 【答案】证明见解析 【分析】根据组合数的公式化简计算. 【详解】证明：+＝+ ＝＝ ＝＝＝； 23．（2026高三·全国·专题练习）（1）求证：； （2）化简：． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）法一：根据将左式整理为，即可证；法二：令，结合得，即可证； （2）将原式化为，应用二项式定理有，即可得. 【详解】（1）证法1：因为，所以，左式． 证法2：令，① 由，得，② 所以①＋②得，， 即． （2）． 考点五 简单的组合问题 24．（2026高二·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先列举出不大于30的10个素数，再分别求出从10个素数中任取两个素数的情况，以及这些情况中两个素数之和为30的情况，再根据古典概型的概率公式计算即可得解. 【详解】不大于30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29共10个. 从中随机选取两个素数有种情况， 其中被选取的两个素数之和为30的有，，共3种情况， 故所求概率为. 故选：A 25．（2026高二·重庆·月考）从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（   ）种． A．30 B．36 C．56 D．66 【答案】B 【详解】从名学生中选出3名，共有种； 从6名男生中选出3名，共有种； 则至少有1名女生的选法共有. 26．（2026高二·上海·期中）某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 【答案】 【详解】由题意可得不同的选课方案共有. 27．（2026高二·江苏盐城·月考）某校高二年级有名男生和名女生参加“我命由我不由天”主题演讲，若从这名同学中随机选出人，则至少有名男生的概率为______． 【答案】/ 【分析】利用组合计数原理结合对立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件从这名同学中随机选出人，至少有名男生， 则事件从这名同学中随机选出人，全是女生， 故. 28．（2026高二·山东枣庄·期中）6件产品中有2件次品，4件正品. (1)从中任意抽取3件，抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ (2)从中任意抽取3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (3)对这6件产品一一进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （ⅰ）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ （ⅱ）若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ 【答案】(1)12 (2)16 (3)（ⅰ）24（ⅱ）114 【分析】（1）利用组合知识以及乘法计数原理计算即可得； （2）利用组合知识以及乘法计数原理计算即可得； （3）（ⅰ）由题意可得第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品，再利用排列知识以及乘法计数原理计算即可得；分第1，2次测出次品结束、前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束、前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束、前4次全部测出正品等不同情况进行讨论即可得. 【详解】（1）从2件次品中抽出1件的抽法有种，从4件正品中抽出2件的抽法有种， 因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为； （2）抽出的3件中至少有1件次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况， 因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件次品的抽法种数为：； （3）（ⅰ）第1次和第4次为次品，第2，3次测试为正品，共有； （ⅱ）第1，2次测出次品结束，有种； 前2次有1次测出次品，第3次测出次品结束，有种； 前3次有1次测出次品，第4次测出次品结束，有种； 前4次全部测出正品，有种； 故共有种. 考点六 有限制条件的组合问题 29．（2026高二·广东广州·期中）在的棋盘中，放入颗黑子和颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（    ）种不同的放法. A． B． C． D． 【答案】D 【详解】先从行中选行放黑子，有种，再从列中选列放黑子，有种， 选出的行列中放黑子，有种不同位置放法，所以黑子的总放法：种， 再从剩下的行列中放白子，有种放法， 根据分步计数原理，总放法数为种. 30．（2026高二·河北衡水·期中）某班有男生5人､女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（    ） A．9种 B．14种 C．20种 D．40种 【答案】C 【详解】先选1名男生，有（种）选法；再选1名女生，有（种）选法. 根据分步乘法计数原理得不同的选法共有（种）. 31．（2026高二·山西晋中·月考）某种号牌的编号采用5位序号编码，编码具体规则为：由0~9共10个阿拉伯数字和26个英文字母组成，且最多只能含有2个不重复的英文字母.按这种方式可产生_______种号牌. 【答案】7900000 【分析】按编码中含0个、1个、2个不重复英文字母分三类，分别计算每类的编码数量后相加得到总数. 【详解】根据规则“最多含2个不重复英文字母”，分三类情况计算： 情况1：不含英文字母，全为数字 5个位置每个位置都有10种数字选择，共 种； 情况2：含1个英文字母 先从5个位置选1个放字母：，字母共26种选择，剩余4个位置放数字：， 共 种。 情况3：含2个不重复的英文字母 先从5个位置选2个放字母：，选不重复的2个字母排列：， 剩余3个位置放数字：，共 种。 三类相加得总号牌数： . 32．（2026高二·北京丰台·期中）从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛． (1)如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？ (2)如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？ 【答案】(1)30 (2)51 【分析】（1）先选男生有种选法，再选满足条件的女生有种选法，再由分步乘法计数原理即可得出答案. （2）方法一直接法，求出符合条件的两类选法，由分类加法计数原理即可得出答案；方法二排除法，用总的方法总数减去两种不符合条件的情况，即可得出答案. 【详解】（1）选1名男生，有种选法， 选3名女生，且女生甲必须在内，有种选法．                  所以符合条件的不同选法有（种）． （2）方法一（直接法）：符合条件的选法有两类： 第1类，2名男生，2名女生的选法有种； 第2类，3名男生，1名女生的选法有种； 所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 方法二（排除法）： 因为从9名学生中，选4名代表的选法共有种， 其中包括1男3女和4女0男两种不符合条件的情况， 所以男生不少于2名的不同选法有（种）． 故共有51种不同的选法． 33．（2026高二·福建莆田·期中）如图，将、、、四个数字填在个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个不能填相同数字，四个数字都使用，则不同的填数方法数有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定填、、三点填法数，再讨论点、、的填法种数，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】如图，计算不同填数方法有两类办法： 因为四个数字都使用，先填、、，有种填法，再从、、中选一处填第四个数，如，再填， 若与同，则有种填法，若与不同，则有种填法， 于是有种填法. 考点七 与几何图形有关的组合问题 34．（2026高二·黑龙江大庆·月考）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（    ） A．70 B．58 C．64 D．62 【答案】B 【分析】从8个顶点中选4个，再减去四点共面的情况种数即可得. 【详解】首先从8个顶点中选4个，共有种结果， 在这些结果中，有四点共面的情况，此时不能组成三棱锥， 6个表面有6个四点共面，6个对角面有6个四点共面， 故满足条件的结果有， 即以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是. 35．（2026高二·河南·期中）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．33 C．34 D．36 【答案】B 【详解】从三棱台的9条棱中选2条的选法种数为，在三棱台中，共有3对棱平行，所以所求的选法种数为. 36．（2026高二·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 【答案】C 【分析】分析圆周上8个等分点可构成4条直径，由此得到所对应的直角三角形个数，用可以构成的总三角形个数减去直角三角形个数，可得锐角三角形或钝角三角形的个数. 【详解】圆周上8个等分点共可构成4条直径，而直径所对的圆周角是直角. 又每条直径对应着6个直角三角形，所以共有（个）直角三角形， 因为这8个等分点为顶点的三角形共有（个）， 所以锐角三角形或钝角三角形的个数为（个）． 故选：C. 37．（2026高二·上海·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 【答案】80 【详解】从9个点中任选3个点的组合数为. 共线4点中选3个无法构成三角形，需减去. 可确定三角形个数：. 38．（2026高二·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 【答案】B 【分析】分成两类计数：一类是所在面上另外5个点中任选3个，另一类是所在棱上三点与对棱中点共面，由此可得. 【详解】含有的侧面中，每个面上的6个点都是共面的，除外的5个点任选3个，则个数为， 所在的棱上三点与对棱中点共面，这样的组数有3个， 所以共有个. 39．（2026高二·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 【答案】(1)31 (2)80 (3)105 【分析】（1）直接法按共线点的选取情况分类，结合分类加法计数原理计算；间接法先求9个点无限制确定直线的总组合数，再减去4个共线点多算的直线数，两种方法均可得到结果； （2）直接法按从4个共线点中选取2个、1个、0个点的情况分类，分别结合另5个点的选取计算有效三角形数；间接法先求9个点中任取3点的总组合数，再减去4个共线点中取3点的组合数。 （3）直接法按从4个共线点中选取0个、1个、2个点的情况分类，结合另5个点的选取计算有效四边形数；间接法先求9个点中任取4点的总组合数，再减去4个共线点中取3个、4个点的组合数。 【详解】（1）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：确定1条直线； 第二类：以外的5个点可确定条直线； 第三类：从中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线． 根据分类加法计数原理，共有不同直线（条）． 法二：（间接法）： 可确定直线（条）． （2）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 第一类：从中取2个点，可得个三角形； 第二类：从中取1个点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形．共有（个）三角形． 法二：（间接法）： 可确定三角形（个）． （3）解：法一：（直接法），共线的4点记为． 分三类：第一类，从5个不共线点中取4个点，有个； 第二类，从5个不共线点中取3个点和4个共线点中取1个点，有个； 第三类，从5个不共线点中取2个点和4个共线点中取2个点，有个。 故共有四边形（个）。 法二：（间接法）： 可确定四边形（个）． 考点八 分组、分配问题 40．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可知不同装法的总数为， 事件：“恰好有一个盒子中均为一级果”对应的装法数为， 因此事件发生的概率，故选项D正确． 41．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 【答案】A 【分析】先将2名英语教师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他1人到人数少的一个校区即可. 【详解】由题意知，先将2名英语教师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有种分法， 然后再分到两个校区，共有种方法， 第三步只需将其他1人分到人数少的一个校区， 根据分布乘法计数原理知不同的分配方案共有. 故选：A 42．（2026高二·江西·月考）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用分步乘法原理和分组分配方法求解. 【详解】第一步：把1本物理书和1本历史书分给两个人，1人一本，有种分配方法, 第二步：把剩下4本书平均的分给两个人，有种分配方法, 所以共有种分配方法， 故选:B. 43．（2026高三·全国·专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（    ） A．540 B．120 C．90 D．60 【答案】C 【分析】先将6位老师平均分成三组，再将三组分配即可. 【详解】将6位老师平均分成三组，共有种可能， 三组老师分别到三个不同的班级进行宣讲，每个班级都有老师宣讲， 则有种排法． 故选：C. 44．（2026高二·浙江丽水·期中）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（   ） A．360 B．180 C．90 D．60 【答案】D 【分析】分三步，首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，再乙从剩下的四本书中拿两本，最后丙拿，按照分步乘法计数原理计算可得. 【详解】不妨记三位同学分别为甲、乙、丙， 首先甲从除语文练习册外的本书中任意拿两本，则有种； 再乙从剩下的四本书中拿两本，则有种； 最后将剩下的两本给丙即可， 按照分步乘法计数原理可知一共有种不同的分配方法. 故选：D 45．（2026·广东佛山·模拟预测）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可. 【详解】由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：， 所有的分组组数为：， 结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：. 故选：C. 46．（2026高三·陕西西安·月考）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 【答案】B 【分析】先分配语文老师，再把数学体育老师按1，2和2，1分配，或2，1和1，2分配即可求解； 【详解】两名语文老师由种分配方程； 数学老师按1，2分，则体育老师按2，1分， 或数学老师按2，1分，则体育老师按1，2分，共有, 所以不同的分配方案有， 故选：B 47．（2026高二·贵州贵阳·期中）某学校组织同学们参加心理游园活动，5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学，不同的分配方案有（   ） A．20种 B．30种 C．60种 D．15种 【答案】B 【详解】5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学， 先将5名同学分成两组有两种情况， 则. 48．（2026高二·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】D 【详解】已知5名新进教师分到3个不同年级，每个年级至少1人，共两种分法： ①：； ②：； 不同的分配方案共有种． 49．（2026高二·贵州·期中）春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 【答案】C 【分析】先对4人分组，再进行全排列，根据分步计数求解即可.． 【详解】4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班，必然是1,1,2的人数分配. 先分组：从4人中选2人分为1组，且甲、乙两人不同组，有种， 再排列：将3组分配到3天，有种， 所以总方案数为：种. 50．（2026高二·重庆·期中）重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（    ） A．96种 B．144种 C．240种 D．384种 【答案】C 【分析】分类计算，按分组：从中选2人捆绑在一起，也捆绑在一起，6人变成四个元素全排列得；按分组：从中选1人与捆绑在一起，6人变成四个元素全排列. 【详解】,必须安排在同一个班级，则还要从中选2人到同一班级，这样方法数为. 若去的班级有3人，则方法数为， 所以总方法数为. 51．（2026高二·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案. 52．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先甲去或班的总数为，进一步由组合数排列数应用条件概率即可得所求概率. 【详解】不考虑甲是否去班，所有实习生分配方案总数为， 甲去班的概率相等，所以甲去或班的总数为， 甲不去班，B班恰有3名实习生的情形一，甲去班且班有3名实习生共有种； 情形二，甲去班，班有3名实习生共有种， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的共有种， 设实习生甲不去A班为事件，设B班恰有3名实习生为事件， 当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为. 53．（2026高二·全国·期中）将5个互不相同的球全部放入3个彼此不同的盒子中，每个盒子至少1个球，则不同的放球方法共有（    ） A．36种 B．72种 C．108种 D．150种 【答案】D 【分析】依题意，将5个不同的球按照（3，1，1）和（2，2，1）的方式分组，求出分组的方法种数，然后再全排列即可. 【详解】若每个盒子中球的个数分别为2、2、1，则有 种分法， 再把这3组分别放入3个盒子中，有 种方法，共有 种方法， 若每个盒子中球的个数分别为3、1、1，则有种分法， 再把这3组分别装入3个盒子中，有 种方法，共有种方法，总共有 种方法. 54．（2026高三·青海西宁·月考）将名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】先将名同学分成组和组，然后再分配去三个公司，再由分类加法计数原理可得. 【详解】以去公司实习的人数分两类完成： 第一类：安排名同学去公司实习，将名同学先分成组，有种不同的结果， 再分配，1人组去公司实习，另两组（2人组和3人组）分配到公司实习，有种不同的结果 所以有种不同的安排方法. 第二类：安排名同学去公司实习，将名同学先平均分成组，有种结果， 再将这三组分配三个公司实习，有种不同的结果，所以有种不同结果. 根据分类加法计数原理，一共有种不同安排方法． 55．（2026高二·河南洛阳·期中）将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 【答案】B 【分析】在除了《水浒传》剩下的三本中，甲再拿 1 本和甲不再拿两种情况讨论求解即可. 【详解】在除了《水浒传》剩下的三本中，甲再拿 1 本，乙丙各 1 本，则有种情况； 在除了《水浒传》剩下的三本中，甲不再拿，乙丙中 1 人拿 2 本，1 人拿 1 本，有种情况， 所以，不同的分配方法有种. 56．（2026高二·陕西西安·期中）某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出总事件数，再对观看电影D的人数分类讨论，第一种：2人同看电影D，第二种2人同看的电影不是D.最后结合古典概型的概率公式求解. 【详解】总事件数：小帅看电影D，其余3名同学可以从4部电影中任选1部，所以总事件数为 “恰有两人看同一部电影”，分两种情况讨论： 1）2人同看电影D： 2）2人同看的电影不是D： 所以恰有两人看同一部电影的概率为：. 考点九 相同元素隔板法 57．（2026高二·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 【答案】A 【分析】“将三元一次方程的正整数解的组数”转变为“等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法”，利用隔板法即可求得结果. 【详解】三元一次方程的正整数解的组数， 等价于将8个相同的小球分成3组，每组至少1个小球的不同分法. 只需要在8个小球中间的7个空位中选取2个空位用隔板隔开即可， 则共有种分法， 即三元一次方程的正整数解的组数为21. 故选：A. 58．（2026高二·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】C 【分析】转化为将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，利用隔板法求解即可. 【详解】原题等价于下面这个问题： 将21瓶相同的矿泉水分给5人，每人至少1瓶，有多少种不同的分法? 由隔板法可得，方程的正整数解共有组． 故选：C 59．（2026高二·山东·月考）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 【答案】B 【分析】将系数相同的变量合并换元，即设， 讨论和时的取值，利用隔板法求出解的组数，最后由分类加法计数原理即可得出答案. 【详解】对于方程， 设，则， 当时，，因为为偶数，则也为偶数，所以可以为， 时，只有一种解，此时， 由隔板法可知，将8个单位长度分成3个整数部分，一共有种分法， 所以共有组解，同理可得其他的组数， 所以当时，可得解的组数为； 当时，，因为为偶数，则为奇数，所以可以为， 利用隔板法可得解的组数为， 当时，因为，所以此时，不合题意， 综上，方程的正整数解共有组． 故选：B. 60．（2026高二·江苏淮安·月考）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球，结合隔板法可得结果. 【详解】问题等价于将个完全相同的小球，放入个不同的盒子，每个盒子至少个球， 由隔板法可知，不同的分配方案种数为. 故选：C. 61．（2026高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 【答案】A 【分析】相同元素分组可以采用“隔板法”求解. 【详解】四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完， 即将个球分成了份： 个球有个空隙，选个空隙插上“隔板”即可分成4份， 即：种. 故选：A. 62．（2026高三·湖南长沙·月考）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（    ） A．16 B．18 C．27 D．28 【答案】B 【分析】根据根据加法和乘法原理，结合组合的定义进行求解即可. 【详解】“每校至少一个名额的分法”的方法数是至少有两个学校的名额数相同”的分配方法数可以从反面入手去求，即先求出“出现相同名额”的分配方法数，第一种情形是两个学校名额数相同：有三种情形，共有9种分法；第二种情形是三个学校名额数均相同，有1种分法，所以至少有两个学校的名额数相同”的分配为种.所以，满足条件的分配方法共有种. 故选：B 63．（2026高二·新疆和田·月考）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 【答案】D 【分析】7个小球有6个空，采用插空法可求. 【详解】将7个小球分成三组即可，可采用插空法，7个小球有6个空，则有种不同的方法. 故选：D. 64．（2026·河北衡水·模拟预测）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 【答案】D 【分析】先每人分一本书，再将剩下的7本书分给3人，每人至少一本，由“隔板法”可得答案. 【详解】先从10本书中拿出3本，分给每人一本书， 再将余下7本书采用“隔板法”分给3个人，分法种数为15， 故选: D 考点十 排列、组合的综合应用 65．（2026·湖北·模拟预测）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 【答案】D 【分析】由题意得对红菊花所处位置进行分类，每一类根据分步计数原理可得. 【详解】红菊花在正中间位置时，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻， 即红菊花两边各一盆白色，黄色菊花，故有； 红菊花在首位或者尾端时，先排好白菊花，产生三个空再对黄菊花分类排即可， 故； 红菊花在第2或者第4位置时，先给首位或者尾端任意放一种，剩下的3盆花位置就确定了，故； 综上，共有种摆放方法. 故选：D 66．（2026高三·云南楚雄·月考）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（    ）种不同的排法. A．528 B．312 C．264 D．216 【答案】A 【分析】先固定老师位置，再分甲乙在老师左侧、右侧两种情况，分别计算位置选择数、甲乙排列数与其余人排列数，最后相加得总排法数. 【详解】按照的序号进行编号，老师的左边编号，右边编号， 若甲乙站在老师的左边，则安排情况为，共3种选择， 甲乙可互换位置，丙排在右侧有3种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师左边时共有种排法； 若甲乙站在老师的右边，则安排情况为，共2种情况， 甲乙可互换位置，丙只有一种选择，剩下的4人有种排法， 因此甲乙站在老师的右边时共有种排法， 所以不同的排法共有种情况. 67．（2026高二·江苏无锡·期中）某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程．若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（   ） A．69种 B．71种 C．73种 D．79种 【答案】A 【分析】确定5名同学的人数分配类型，即2,2,1和3,1,1两种，根据A、B有选课限制分情况讨论：先考虑B的选课情况，再针对B选甲或乙的情况，分别结合A的限制条件，计算对应人数分配类型下的选法种数，再结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解. 【详解】第一类：人数分配为(1,1,3)型 按甲课程的人数分为两种情况： 1. 甲有3人：能选甲的只有共4人（不能选甲），从4人中选3人： 若B在甲：还需从选2人，共种，剩余2人（含）分乙丙各1人， 全排列共种，合计种； 若B不在甲：甲只能是全选，共种，剩余和分乙丙，不能选丙， 只能去乙、去丙，共1种；合计：种. 2. 甲有1人：从 4人选1人去甲： 若B选甲：共1种选法，剩余4人分乙丙为(1,3)，共种， 无限制，合计种； 若B不选甲：从选1人去甲，共种，剩余4人（和剩下2人）分乙丙为(1,3)： 乙1丙3：B不能去丙，只能B去乙，仅1种； 乙3丙1：丙不能选B，从剩余3人选1个去丙，共种； 每个甲选法对应种，故有种； 合计：种， (1,1,3)型总选法：种. 第二类：人数分配为(1,2,2)型 按甲课程的人数分为两种情况： 1. 甲有1人：从 4人选1人去甲： 若B选甲：共1种，剩余4人分乙丙各2人，共种，无限制，合计种； 若B不选甲：从选1人去甲，共种，剩余4人（A,B和剩下2人）分乙丙各2人， B只能去乙，还需从剩余3人选1个去乙，共种，合计种； 合计：种. 2. 甲有2人：从4人选2人去甲： 若B在甲：B已确定，还需从选1个，共种，剩余3人分乙丙为(1,2)， 共种，无限制，合计种； 若B不在甲：从选2个去甲，共种，剩余3人（A,B和剩下1个）分乙丙为(1,2)： 乙1丙2：B不能去丙，只能B去乙，仅1种； 乙2丙1：丙不能选B，从剩余2人选1个去丙，共种； 每个甲选法对应种，合计种； 合计：种. (1,2,2)型总选法：种. 综上所述，这5名同学不同的选择方法种数共有种. 68．（2026高二·北京·期中）为举办某场国际雪联单板滑雪及自由式滑雪世锦赛.现从4名男生、2名女生中选3人分别担任单板滑雪、自由式滑雪、雪上技巧项目的志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（    ） A．96种 B．124种 C．72种 D．84种 【答案】A 【详解】选出的志愿者中没有女生的选人组合有种，有且只有1名女生的选人组合有种， 将选出的3名志愿者分配到3项比赛中的情况有种， 所以总计不同的选择方案有种. $【考点通关】2025-2026学年高二数学高频考点与解题策略(人教A版2019选择性必修第三册) 专题03 组合与组合数10种常见考法归类（68题） 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 组合概念的理解 考点二 利用组合公式化简与求值 考点三 与组合数有关的方程或不等式 考点四 与组合数有关的证明 考点五 简单的组合问题 考点六 有限制条件的组合问题 考点七 与几何图形有关的组合问题 考点八 分组、分配问题 考点九 相同元素隔板法 考点十 排列、组合的综合应用 知识点1 组合及组合数的定义 1．组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 相同组合：只要两个组合的元素相同，无论元素的顺序如何，都是相同的组合. 2．组合数定义及公式 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示．其中C＝＝. 3．组合的性质： 性质1：C＝； 性质2：C＝. 知识点2　排列与组合的关系 定义 计算公式 性质 联系 排列数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“A”表示 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)A＝n！； (2)0！＝1 C＝ 组合数 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“C”表示 C＝ (n，m∈N*，且m≤n) (1)C＝C＝1； (2)C＝C； (3)C＝C＋C 相同点 两者都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 不同点 排列问题中元素有序，组合问题中元素无序 注：组合要求元素“不管元素的顺序合成一组”,而排列要求元素“按照一定的顺序排成一列”因此区分某一问题是组合问题还是排列问题,关键是看选出的元素是否与顺序有关,即交换某两个元素的位置对结果有没有影响,若有影响,则是排列问题，若无影响，则是组合问题. 关系 组合数C与排列数A间存在的关系 A＝CA 策略方法 1.排列、组合辨析切入点 (1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(m≤n)个不同的元素即可． (2)只要两个组合中的元素完全相同，不管顺序如何，这两个组合就是相同的组合． (3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题． 2.组合公式的应用 (1)组合数公式C＝一般用于计算，而组合数公式C＝一般用于含字母的式子的化简与证明． (2)要善于挖掘题目中的隐含条件，简化解题过程，如组合数C的隐含条件为m≤n，且m，n∈N*. (3)计算时应注意利用组合数的两个性质： ①C＝C；②C＝C＋C. 3.组合个数的求解策略 (1)枚举法：书写时常以首字母为切入点，相同元素的不必重复列举，如本例中，先枚举以字母A开头的组合，再枚举以字母B开头的组合，直到全部枚举完毕． (2)公式法：利用排列数A与组合数C之间的关系C＝求解． 4.利用排列与组合之间的关系，建立起排列数与组合数之间的计算方法，借助排列数求组合数．5.有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类 (1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数． (2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 6.(1)图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用间接法． (2)把一个与几何相关的问题转化为组合问题，此题目的解决体现了数学抽象及数学运算的核心素养． 7. 求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘． 具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径： (1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素． (2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置． (3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数． 8. 解答排列、组合问题的角度： 解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手． (1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”； (2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等； (3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决； (4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决． 9. 有条件的排列问题大致分四种类型． (1)某元素不在某个位置上问题，①可从位置考虑用其它元素占上该位置，②可考虑该元素的去向(要注意是否是全排列问题)；③可间接计算即从排列总数中减去不符合条件的排列个数． (2)某些元素相邻，可将这些元素排好看作一个元素(即捆绑法)然后与其它元素排列． (3)某些元素互不相邻，可将其它剩余元素排列，然后用这些元素进行插空(即插空法)． (4)某些元素顺序一定，可在所有排列位置中取若干个位置，先排上剩余的其它元素，这个元素也就一种排法． 10．分组、分配问题的常见类型 (1)对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数．这类问题有平均分组无序和平均分组有序两种情形； (2)对于部分均分，即不平均分组中的部分平均分组问题，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数，这类问题也有无序和有序两种情形；　 (3)对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数，这类问题也有不平均分组无序和不平均分组有序两种情形． 11．对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”．　 考点一 组合概念的理解 1．（2026高二·全国·课后作业）下列四个问题属于组合问题的是（   ） A．从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B．从0，1，2，3，4这5个数字中选取3个不同的数字，组成一个三位数 C．从全班同学中选出3名同学参加某大学生运动会开幕式 D．从全班同学中选出3名同学分别担任班长、副班长和学习委员 2．【多选】（2026高二·全国·课后作业）给出下列问题，是组合问题的是（   ） A．从四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法 B．从四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法 C．四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场 D．四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果 3．（2026高二·全国·专题练习）给出下列问题： ①若集合求集合A的含有3个元素的子集的个数； ②求从甲、乙、丙三名同学中选两名同学参加两项不同的活动的选法种数； ③求从7本不同的书中选出5本给某一个同学的选法种数； ④求四个城市之间需要准备的飞机票的种数； ⑤把3本相同的书分给5个学生，求每人最多得1本的分法种数． 其中是组合问题的为（    ） A．①⑤ B．①② C．①③⑤ D．①③ 4．【多选】（2026高二·全国·课堂例题）从2，3，5，7，11，13，17，19这8个数中任取2个，则下列问题属于组合问题的是（   ） A．相加可以得到多少个不同的和 B．相乘可以得到多少个不同的积 C．相减可以得到多少个不同的差 D．相除可以得到多少个不同的商 5．（2026高二·全国·课堂例题）判断下列问题是组合问题还是排列问题： (1)设集合，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (2)某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？ (3)3人去干5种不同的工作，每人干一种，有多少种分工方法？ (4)把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ 考点二 利用组合公式化简与求值 6．（2026高二·江苏镇江·期中）（    ） A．14 B．21 C．42 D．49 7．（2026高二·重庆·期中）计算的值为（    ） A．17 B．20 C．26 D．29 8．（2026高二·山东济南·期中）___________． 9．（2026高二·湖北武汉·期中）__________. 10．（2026高二·北京海淀·期中）___________．（用数字作答） 考点三 与组合数有关的方程或不等式 11．（2026高二·河北衡水·期中）已知，则__________（用数字作答）. 12．（2026高二·河南许昌·期中）若，则（   ） A．20 B．21 C．27 D．42 13．（2026高二·江苏镇江·期中）若，则__________． 14．（2026高二·浙江·期中）不等式的一个解是______．（写出一个符合要求的答案即可） 15．（2026高二·全国·课堂例题）解不等式：. 16．（2026高二·江西南昌·月考）（1）求的值； （2）解关于的不等式：. 17．（2026高二·全国·单元测试）（1）已知，，求的值； （2）求满足的最大正整数． 考点四 与组合数有关的证明 18．（2026高二·安徽合肥·期中）已知，且，则下列等式不正确的是（    ） A． B． C． D． 19．【多选】（2026高二·江苏淮安·月考）对于，关于下列排列组合数关系式，结论正确的是（    ） A． B． C． D． 20．【多选】（2026高二·安徽·期中）下列各项中，正确的是（    ）. A． B． C． D． 21．（2026高三·全国·专题练习）求证：． 22．（2026高二·全国·专题练习）证明组合数性质； 23．（2026高三·全国·专题练习）（1）求证：； （2）化简：． 考点五 简单的组合问题 24．（2026高二·辽宁辽阳·期末）从不大于30的素数中随机选取两个素数，则被选取的两个素数之和为30的概率是（   ） A． B． C． D． 25．（2026高二·重庆·月考）从6名男生和2名女生中选出3名，其中至少有1名女生的选法共有（   ）种． A．30 B．36 C．56 D．66 26．（2026高二·上海·期中）某校开设5门知识类选修课和4门技能类选修课.学生需从中选修3门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有______种.（用数字作答） 27．（2026高二·江苏盐城·月考）某校高二年级有名男生和名女生参加“我命由我不由天”主题演讲，若从这名同学中随机选出人，则至少有名男生的概率为______． 28．（2026高二·山东枣庄·期中）6件产品中有2件次品，4件正品. (1)从中任意抽取3件，抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有多少种？ (2)从中任意抽取3件，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ (3)对这6件产品一一进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束. （ⅰ）若恰在第1次检测时，找到第一件次品，且第4次检测时，才找到最后一件次品，则共有多少种不同的抽法？ （ⅱ）若至多检测4次就能找到所有次品，则共有多少种不同的抽法？ 考点六 有限制条件的组合问题 29．（2026高二·广东广州·期中）在的棋盘中，放入颗黑子和颗白子（棋子除颜色不同，其他完全相同），它们均不在同一行且不在同一列，共有（    ）种不同的放法. A． B． C． D． 30．（2026高二·河北衡水·期中）某班有男生5人､女生4人，现要从中选出2人参加活动，要求恰好1男1女，则不同的选法共有（    ） A．9种 B．14种 C．20种 D．40种 31．（2026高二·山西晋中·月考）某种号牌的编号采用5位序号编码，编码具体规则为：由0~9共10个阿拉伯数字和26个英文字母组成，且最多只能含有2个不重复的英文字母.按这种方式可产生_______种号牌. 32．（2026高二·北京丰台·期中）从3名男生和6名女生中选出4人去参加一项创新比赛． (1)如果所选4人中恰有男生1人，女生3人，且女生甲必须在内，那么有多少种选法？ (2)如果所选4人中男生不少于2人，那么有多少种选法？ 33．（2026高二·福建莆田·期中）如图，将、、、四个数字填在个“”中，每个“”中填一个数字，有线段连接的两个不能填相同数字，四个数字都使用，则不同的填数方法数有（    ） A． B． C． D． 考点七 与几何图形有关的组合问题 34．（2026高二·黑龙江大庆·月考）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是（    ） A．70 B．58 C．64 D．62 35．（2026高二·河南·期中）从三棱台的9条棱中选2条，则这2条棱不平行的选法种数为（    ） A．32 B．33 C．34 D．36 36．（2026高二·全国·单元测试）圆周上有8个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是（   ） A．16 B．24 C．32 D．48 37．（2026高二·上海·月考）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线，以这9个点为顶点，可以确定______个不同三角形．（结果用数值表示） 38．（2026高二·浙江·期中）如图，点分别是四面体的顶点或棱的中点，那么在同一平面上的四点组个数有（    ） A．30 B．33 C．63 D．69 39．（2026高二·全国·课堂例题）平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线． (1)经过这9个点，可确定多少条直线？ (2)以这9个点为顶点，可以确定多少个三角形？ (3)以这9个点为顶点，可以确定多少个四边形？ 考点八 分组、分配问题 40．（2026高三·安徽阜阳·月考）现要把6个不同的苹果平均地分装入3个不同的盒子中．这6个苹果中有4个是一级果，2个是二级果，则恰好有一个盒子中均为一级果的概率为（   ） A． B． C． D． 41．（2026高二·浙江温州·期末）某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有（    ） A．12种 B．14种 C．24种 D．48种 42．（2026高二·江西·月考）将6本不同的书（包括1本物理书和1本历史书）平均分给甲、乙两人，其中物理书和历史书不能分给同一个人，则不同的分配种数是（    ） A．6 B．12 C．18 D．24 43．（2026高三·全国·专题练习）每年的5月25日是全国大中学生心理健康日．某高校计划在这一天开展有关心理健康的宣传活动，现计划将6位老师平均分成三组分别到三个不同的班级进行宣讲，则不同的排法总数为（    ） A．540 B．120 C．90 D．60 44．（2026高二·浙江丽水·期中）唐老师有语文，数学等6本不同学科的练习册，平均分给3个同学，若甲同学不拿语文，则不同的分配方法数为（   ） A．360 B．180 C．90 D．60 45．（2026·广东佛山·模拟预测）学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（    ） A． B． C． D． 46．（2026高三·陕西西安·月考）某学校拟派2名语文老师、3名数学老师和3名体育老师共8人组成两个支教分队，平均分到甲、乙两个村进行义务支教，其中每个分队都必须有语文老师、数学老师和体育老师，则不同的分配方案有（    ） A．72种 B．36种 C．24种 D．18种 47．（2026高二·贵州贵阳·期中）某学校组织同学们参加心理游园活动，5名同学被分配到甲、乙两个活动区，每个活动区至少一名同学，不同的分配方案有（   ） A．20种 B．30种 C．60种 D．15种 48．（2026高二·重庆万州·期中）今年我校有5名新进教师，需将这5人全部分配到高中3个不同的年级，要求每个年级至少分配1人，每名教师只能分配到一个年级，则不同的分配方案共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 49．（2026高二·贵州·期中）春假期间，某学校安排4名保安在这3天假期值班，每人必须值班1天，每天都有人值班.若4名保安中的甲、乙两人不能安排在同一天值班，则不同的安排方案共有（    ） A．18种 B．24种 C．30种 D．36种 50．（2026高二·重庆·期中）重庆市第二外国语学校计划在5月份安排一共6名党员教师到高二年级4个不同的班级开展党史宣讲活动，每个党员教师只能安排一个班级，每个班级至少安排1人，其中,必须安排在同一个班级则不同的安排方法共有（    ） A．96种 B．144种 C．240种 D．384种 51．（2026高二·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 52．（2026·山西临汾·模拟预测）将5名实习生分配到A，B，C三个班开展实习工作.要求每个班都要有实习生，当实习生甲不去A班时，B班恰有3名实习生的概率为（   ） A． B． C． D． 53．（2026高二·全国·期中）将5个互不相同的球全部放入3个彼此不同的盒子中，每个盒子至少1个球，则不同的放球方法共有（    ） A．36种 B．72种 C．108种 D．150种 54．（2026高三·青海西宁·月考）将名同学安排到三个公司实习，每名同学只去一个公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，至少安排名同学去公司实习，则不同的安排方法有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 55．（2026高二·河南洛阳·期中）将《水浒传》《三国演义》《西游记》《红楼梦》四本书分给甲、乙、丙三位同学，每人至少1本，且《水浒传》必须分给甲同学，则不同的分配方法有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 56．（2026高二·陕西西安·期中）某影院近期只播A、B、C、D四部热门电影，小帅和他的同学一行四人决定每人选择一部观看.若小帅要看D，其他同学任选一部，则恰有两人看同一部影片的概率为（    ） A． B． C． D． 考点九 相同元素隔板法 57．（2026高二·山东潍坊·月考）三元一次方程的正整数解的组数为（    ） A．21 B．28 C．35 D．42 58．（2026高二·内蒙古·期末）方程的正整数解共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 59．（2026高二·山东·月考）方程的正整数解共有（   ） A．50组 B．58组 C．60组 D．66组 60．（2026高二·江苏淮安·月考）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年级至少个名额，则有（    ）种分配方案. A． B． C． D． 61．（2026高二·山西大同·期中）袋中有十个完全相同的乒乓球，四个小朋友去取球，每个小朋友至少取一个球，所有的球都被取完，最后四个小朋友手中乒乓球个数的情况一共有（    ） A．84种 B．504种 C．729种 D．39种 62．（2026高三·湖南长沙·月考）将9个志愿者名额全部分配给3个学校，则每校至少一个名额且各校名额互不相同的分配方法总数是（    ） A．16 B．18 C．27 D．28 63．（2026高二·新疆和田·月考）7个相同的小球放入，，三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（    ）种不同的放法． A．60种 B．36种 C．30种 D．15种 64．（2026·河北衡水·模拟预测）将10本完全相同的科普知识书，全部分给甲､乙､丙3人，每人至少得2本，则不同的分法数为（    ） A．720种 B．420种 C．120种 D．15种 考点十 排列、组合的综合应用 65．（2026·湖北·模拟预测）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ） A．24种 B．36种 C．42种 D．48种 66．（2026高三·云南楚雄·月考）甲､乙､丙等7位同学和1位老师共8人合影，已知老师的左边站4人，右边站3人，若甲和乙相邻，丙站在老师的右边，则共有（    ）种不同的排法. A．528 B．312 C．264 D．216 67．（2026高二·江苏无锡·期中）某校A，B，C，D，E这5名同学需要选择甲、乙、丙三个校本课程，每人限报一个课程．若这三个课程都至少有1名同学选择，其中A不能选甲课程，B只能在甲乙课程中选，那么这5名同学不同的选择方法种数共有（   ） A．69种 B．71种 C．73种 D．79种 68．（2026高二·北京·期中）为举办某场国际雪联单板滑雪及自由式滑雪世锦赛.现从4名男生、2名女生中选3人分别担任单板滑雪、自由式滑雪、雪上技巧项目的志愿者，且至多有1名女生被选中，则不同的选择方案共有（    ） A．96种 B．124种 C．72种 D．84种 $