小升初列方程解决问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第二节 列方程解决问题 小学梳理 列方程解应用题的方法比算术方法简单,它能使算术题中难以理解的数量关系变得简单明了。 1. 方程解法与算术解法的区别 (1) 列方程解决实际问题时,未知数用字母表示,参加列式;算术解法中未知数不参加列式,算式中都是已知数,整个算式就表示要求的未知量。 (2)列方程解决实际问题是根据题中的数量关系,列出含有未知数的等式,求未知数的过程由解方程来完成;算术解法是根据题中已知数和未知数之间的关系,确定解答步骤,再列式计算。 2. 列方程解决实际问题的基本方法 列方程解决实际问题,最关键的是根据题意列出方程。列方程的基本方法主要有“分析法”和“综合法”。 (1)“分析法”是从问题出发,先找出应用题中的数量关系,然后根据数量关系列出含有字母的式子(又称为代数式),再根据等量关系列出方程,是从整体到局部的思维方法。 例如:足球赛举办单位决定把 1400 张门票免费送给学生,免费送出的门票数正好占足球场座位总数的5%,足球场共有多少个座位? 思考:首先,从问题出发,设足球场共有 x个座位;其次,找等量关系,足球场座位总数的5%就是5%x;然后,根据等量关系列出方程,座位总数的5%等于 1400,列出的方程为5%x=1400。 (2)“综合法”是从已知条件入手,把间接条件逐步转化为直接条件,先根据题中的已知数和未知数列出含有字母的式子,再根据等量关系把代数式用运算符号连接起来,是从局部到整体的思维方法。 例如:有甲、乙两数,甲数除以乙数,商4余 20;乙数的10倍除以甲数,商2余10。 甲、乙两数各是多少? 思考: 第一步:根据被除数=除数 商+余数,甲数=乙数 4+20,乙数 10=甲数 2+10; 第二步:若设乙数为x,根据甲、乙两数之间的数量关系,则甲数为4x+20; 第三步:找等量关系列出方程。 根据“乙数 10=甲数 2+10”,列出的方程是 10x=(4x+20) 2+10。 3. 列方程解决问题的一般步骤 (1) 认真审题,分析题意,明确题中的数量关系。 常见的数量关系有: 部分数与总数:部分数+部分数=总数;总数-部分数=另一部分数。 份数与总数:每份数 份数=总数;总数 份数=每份数…… 大小关系:大数-小数=相差数;小数+相差数=大数…… 倍数关系:一倍数 倍数=几倍数;几倍数 倍数=一倍数…… 行程问题:路程=速度 时间;速度=路程 时间…… 工效问题:工作总量=工作效率 工作时间…… 价格问题:总价=单价 数量…… 产量问题:总产量=单位面积产量 面积…… 利率问题:利息=本金 利率 时间…… 平均问题:平均数=总数 总份数…… 另外,还有相遇问题、鸡兔同笼问题、植树问题、方阵问题、年龄问题、搭配问题等数量关系。在比较复杂的应用题中,还常常有几种数量关系混合在一起的情况。 (2)用字母(x或y等)表示题中的未知数。设未知数的方法有两种:一是直接设定,题目求什么就设什么;二是间接设定,先用字母表示某一个数后,再通过这个数去求所求的未知数。 例如:一个长方形的周长是30分米,长是宽的2倍,长方形的宽是多少分米? 此题中可直接设宽为x分米,则长为2x分米;也可以间接设长为x分米,则宽为 x分米。 (3) 找出题中数量间的等量关系,并根据等量关系列出方程。 (4) 解方程,求出未知数的值。 (5)检验(通常在草稿纸上进行)并写出答案。检验时,把未知数的值代入方程检验或把未知数的值代入原题进行检验。 初中衔接 方程是分析和解决问题的一种很有用的数学工具。 中、小学阶段用方程解应用题的不同之处在于: (1) 根据题意所列方程和解方程的方法不完全相同。 (2)初中阶段分析数量关系的范围有所扩大。如“比重问题”“流水问题”等涉及的数量关系。 【例1】 一个长方形的宽是3 厘米,周长是28 厘米。这个长方形的长是多少厘米? 【分析】 题中的等量关系是长方形的周长=(长+宽) 2。 【解答】 设这个长方形的长为y厘米。 (y+3) 2=28 y=11 检验:将y=11代入原方程,(11+3) 2=28,左边=右边,y=11为原方程的解。 答:这个长方形的长是11厘米。 专题训练 一、填空。 1. 找出等量关系,再列出方程。 (1) 工地上有a吨水泥,每天用去b吨,用了 2天,剩下 30 吨,剩下的吨数用含字母的式子表示是( ),可以列出方程( )。 (2)学校图书室共存图书 3000册,其中教师用书是学生用书的 ,教师用书和学生用书各有多少册? 设学生用书有x册,则教师用书有( )册, 等量关系是( )方程是( )。 (3)用一根长 140分米的彩带围成一个长为y分米、宽为31分米的长方形。等量关系是( ) 方程是( ) 2. 根据题意,找出不同的等量关系。 学校花6000 万为电脑室买来 40套单人桌椅