3.2.2函数的奇偶性的应用作业-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2课时 函数的奇偶性的应用 典型例题 类型一 奇函数或偶函数的单调性 例1 已知偶函数的定义域为，且在区间上单调递减，求满足 的的集合. 类型二 利用函数奇偶性求解析式 例2 已知函数的图象关于原点对称，且当时，，试求的 解析式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间. 类型三 构造奇函数或偶函数求值. 例3 已知，且，求. 巩固练习 一、单选题 1．（ ） A．是偶函数，在上增函数 B．是偶函数，在上减函数 C．不是偶函数，在上增函数 D．是偶函数，在上增函数 2．定义在上的偶函数，在上是增函数，若，则一定可得（ ） A． B． C． D．或 3．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 4．已知是偶函数，其图象与轴有4个交点，则方程的所有实数根之和为（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 5．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数．若，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 6．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 7.．对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 8.已知函数，则（    ） A．当时，的值域为 B．当时，的值域为 C．当时，在上单调递增 D．当时，在上单调递增 9.已知函数的定义域为，且与都为奇函数，则下列说法一定正确的是（    ） A．为奇函数 B．为周期函数 C．为奇函数 D．为偶函数 三、解答题 10．已知函数在上有定义，，当且仅当时，且对任意都有，试证明： （1）为奇函数； （2）在上为减函数． 11．已知是奇函数，且． （1）求实数，的值； （2）判断在上的单调性，并加以证明． 12．已知函数在定义域上是奇函数，又是减函数． （1）证明：对任意的，有； （2）若，求实数的取值范围； 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2课时 函数的奇偶性的应用 典型例题 类型一 奇函数或偶函数的单调性 例1 已知偶函数的定义域为，且在区间上单调递减，求满足 的的集合. 因为，，所以 .又为偶函数，所以. 故等价于 .由函数在区间上单调递减，从而，解得，故满足的的集合为. 类型二 利用函数奇偶性求解析式 例2 已知函数的图象关于原点对称，且当时，，试求的 解析式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间. 【解析】 因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，则.设，则. 因为当时，， 所以当时，. 所以. 先画出函数在轴右边的图象，再根据对称性画出函数在轴左边的图象，如图3-19所示. 由图象可知，函数的单调递增区间时，，单调递减区间时，. 类型三 构造奇函数或偶函数求值. 例3 已知，且，求. 【解析】 设，则，其中为奇函数， 所以， 所以，所以， 所以. 巩固练习 一、单选题 1．（ ） A．是偶函数，在上增函数 B．是偶函数，在上减函数 C．不是偶函数，在上增函数 D．是偶函数，在上增函数 【答案】D 2．定义在上的偶函数，在上是增函数，若，则一定可得（ ） A． B． C． D．或 【答案】A 3．若函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 4．已知是偶函数，其图象与轴有4个交点，则方程的所有实数根之和为（ ） A．4 B．2 C．1 D．0 【答案】D 5．已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上是减函数．若，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C． D． 【答案】B 6．已知函数为偶函数，当时，，则的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 二、多选题 7．对于函数，下面几个结论中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数的值域为 D．函数在上是减函数 【答案】BD 【解析】因，函数定义域关于原