8.3.2 圆柱、 圆锥、圆台、球的表面积和体积-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第八章立体几何初步 随堂检测·学以致用 答案见P 1.已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1,2,3,则该长方体的表面积为 ( A号 B号 A.22 B.20 C.10 D.11 2.如图，ABC-A'BC是体积为1的棱柱，则四 c号 D 棱锥C-AA'BB的体积是 ( ) 3.棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则 棱台的体积为 4.所有棱长均为2的正三棱柱的表面积为 ,体积为 提示完成P1s课时作业（二十） 8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 [学习目标]1知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式，并能利用公式求表面积和体积（重 点).2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系（难点）.3.发展数学建模、数学运算和直观想 象的核心素养 必备知识·基础落实 答案见P 要点一 圆柱，圆锥、圆台的表面积 (续表) 图形 表面积公式 几何体 体积公式 V= 底面积：S (其中S,S分别为上、下底面的 圆 圆台 侧面积：S= 而积，h为圆台的高) 柱 表面积：S= 要点三 球的表面积和体积 L球的表面积：设球的半径为R,则球的表面积 底面积：Sg= S= 侧面积：S= ,即球的表面积等于它的大圆面 旋 锥 2 积的 倍 转 表面积：S= 2.球的体积：设球的半径为R,则球的体积 体 上底面面积： V= O'2n S 3.与球有关的常用结论 下底面面积： (1)球内接正方体的棱长为a,则球的直径为 S5底= 球的表面积为 侧面积：S= (2)球的半径为R,则其内接正方体的表面积 表面积：S 为 要点二 圆柱、圆锥、圆台的体积 (3)如果球的表面积膨胀为原来的2倍，那么 球的大圆面积是原来的 倍 儿何体 体积公式 >思考：球面有没有展开图？ 圆柱 (其中S为底面积，h为圆柱的高) 圆锥 (其中S为底面积，h为圆锥的高) 69 数学必修第二册课堂学案 析 于球的半径. () 判断正误，正确的画“√/”，错误的画“×” (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是 (1)两个球的半径之比为1：3，则其表面积之 他们的表面积。 比为1：9. () (4)球内接四棱锥的每个顶点到球心的距离都 (2)用一个平面去截球，截得的圆面的半径等 相等。 ( 关键能力·素养提升 答案见P细 探究一 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 于9 4 ,则该圆锥的体积为 解题技巧 A.π B.√6π (1)求几何体的表面积时，要充分利用展开 C.3π D.3v6π 图与原几何体的关系 (2)(2021·全国甲)已知一个圆锥的底面半 (2)圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体 径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为 现在轴截面上，因此准确把握轴载面中的相 关量是求解旋转体表面积的关键， 探究二 球的表面积和体积 (3)若所给的几何体为圆柱、圈锥、圆台，则 可直接利用公式求解 规律总结 (4)求柱体、锥体、台体的体积，关键是找到 (1)已知球的半径，可直接利用公式求它的 相应的底面积与高，常需将空间问题平 体积和表面积：已知球的体积和表面积，可 面化. 以利用公式求它的半径。 【例题1】(1)用一张(4×8)cm的矩形硬纸卷成 (2)注意两个结论：①两个球的体积之比等 圆柱的侧面，求该圆柱的表面积. 于这两个球的半径之比的立方；②两个球的 (2)若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆 表面积之比等于这两个球的半径之比的 心角是60°，求圆锥的体积 平方 【例题2】已知三个球的半径R1,R,R满足R1十 2R2=3R (1)它们相应的表面积S,S,S满足的等量 关系是 、 (2)它们相应的体积V,V2,V满足的等量关 系是 【变式2】若球的体积与其表面积的数值相等，则 【变式1】(1)(2023·全国乙)已知圆锥PO的底 球的半径为 ( 面半径为3，O为底面圆心，PA,PB为圆锥 的母线，∠AOB=120°，若△PAB的面积等 A.1 B.3 C.2 0.2 ·70· 第八章立体几何初步 探究三组合体的表面积和体积 探究四 与球有关的切接问题 解题技巧 规律总结 (1)求组合体的表面积的问题：①首先应弄 熟记常见切接模型 清楚它的组成部分，其表面有哪些底面和侧 (1)正方体的内切球：球与正方体的六个面 面，各个面的面积应该怎么求，然后根据公 都相切，称球为正方体的内切球，此时球的 式求出各个面的面积，最后相加或相减： 半径为n=号a为正方体棱长)， ②组合体的表面积应注意重合部分的处理. (2)求组合体的体积时，也要弄清它的组成 (2)长方体的外接球：长方体的八个顶点都 部分，求出各简单几何体的体积，再相加或 在球面上，称球为长方体的外接球，根据球 相减。 的定义可知，长方体的体对角线是球的直 径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a,