7.2.2 复数的乘、除运算-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第七章复数 随堂检测学以致用 答案见P 1.复数(1-i)-(2+i)+3i (3)求点B对应的复数： A.-1+i B.1-i Ci D.-i 2.已知1=2十i,=1一2i,则复数=4一名1在 复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若|x一1|=|x十1|，则|x-1|的最小值是 4.在复平面内，已知平行四边形OABC的三个顶 点O,A,C对应的复数分别为0,2+4i,3一31. (1)求向量C)对应的复数： (2)求向量AC对应的复数： 提示完成P课时作业（十五） 7.2.2复数的乘、除运算 [学习目标]1.掌握复数代数表示式的乘法和除法的运算法测（重点.2.理解复数乘法的交换律、结合律 和乘法对加法的分配律.3.发展数学抽象和数学运算的核心素养. 必备知识，基础落实 答案见P型 要点一复数的乘法 要点二复数的除法 1.运算法则 1.运算法则 设=a十i,2=c十di(a,b,c,d∈R),则2 设1=a+bi,2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+ (a+bi)·(c+di)= 2.运算律 di≠0)，则立=a十i z c+di 对任意复数1，，∈C,有 2.复数的除法运算 交换律 名12好= 复数除法运算的实质是分母“实数化”（分子、 结合律 (a2)23= 分母同乘分母的“实数化因式”，即分母的共轭 乘法对加法的分配律 之（十） 复数)，将复数的除法运算转化为复数的乘法 >思考：复数的乘法运算与多项式乘法运算类 运算进行求解。 似吗？ 3.复数代数运算中的常用结论 1士i=±2i-i 2-±-1. (3)(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,bER). ·51· 数学必修第二册课堂学案 析 (2)两个共轭复数的和与积都是实数.() 判断正误，正确的画“/”，错误的画“×”. (3)若w-3,G为虚数单位，则1（) 2 (1)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除， (4)若x为纯虚数，则>0. 后加减. 关键能力~素养提升 答案见P型 探究一 复数的乘法 1+3 【变式】设w=一2+i,求证：11+w十ow= 解题技巧 0:(2)w3=1. 复数的乘法运算技巧 (1)复数乘法的运算法则：复数的乘法与多 项式的乘法是类似的，但必须在所得的结果 中把换成一1，并且把实部与虚部分别合 并，两个复数的积仍然是一个复数.(2)复数 乘法的运算律：复数的乘法满足交换律、结 合律以及乘法对加法的分配律。 (3)i的暴的周期性：如果n∈N,则有"=1， +1=i,iw+8=一1，iw+3=一i. 【例题1】计算下列各式的值. (1)(1+i)(1-i)+(-1+i): (2)(1+3i)(4-i); (3)(2+i)(1-i)(3+4i). 【例题2】当之=一 1一G为虚数单位)时，m+ 2 g0+1= A.1 B.-1 C.i D.-i 【变式2】计算1+i+++…+0=() A.-i B.i C.0 D.1 ·52· 第七章复数 探究二 复数的除法 (2)1-4iD1+iD+2+4i 3+4i 规律总结 两个复数相除（除数不为0），所得的商是一 个确定的复数，在进行复数除法运算时，通 常先把(a十bi)÷（c十diD写成a士i(c十di≠ c-di 0)的形式，再把分子与分母都乘以分母的共 轭复数c一di,化简后可得结果.这与无理根 式的除法运算是类似的，在无理根式的除法 探究三 在复数范围内解方程 运算中，分子、分母都乘以分母的“有理化因 式”，从而使分母“有理化”.在这里分子、分 规律总结 母都乘以分母的“实数化因式”（共轭复数）， (I)在复数范围内，实系数一元二次方程a十 从而使分母“实数化” b.r十c=0(a≠0)的求根公式为： 【例题3】计算下列各式的值. ①当4>≥0时，x=二b士VF一4ac a 2a (2)1+2i)2+31-i) ②当△<0时，.x=一b士V一(6一4aci 2a 2+i (2)在复数范国内，实系数一元二次方程总 (3)1-③i 有两个根.当△≥0时，有两个实数根；当△< (w5+i)2 0时，有两个虚数根，且它们互为共轭复数 【例题4】在复数范围内解方程。 (1)x2+4.x+5=0: (2)2.x2-3.x+4=0. 【变式4】(1)已知1+i是关于x的方程a.x+bx+ 2=0(a,b∈R)的一个根，则a十b= () A.-1 B.1 C.-3D.3 【变式3】计算下列各式的值. (2)已知关于x的方程x2十kx十一2k=0有一 (i-2)(i-1)+-3-21 11+-1)++2-3i1 个模为1的虚根，则实数k的值为 ·53· 数学必修第二册课堂学案 随堂检测学以致用 答案见P如 1.(2021·全国乙)设i这=4+3i,则x= (