6.4.3 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例-【状元桥·优质课堂】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（人教A版2019）

第六章平面向量及其应用 第三课时余弦定理、正弦定理应用举例 [学习目标]1.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题(难点).2.发展数学建模和数学运算的核心 素养. 必备知识基础落实 答案见 $$P _ { 2 7 1 }$$ 要点一基线 要点三解三角形应用题的基本思路和步骤 1.定义：在测量过程中，根据的需要而 1.解三角形应用题的基本思路 确定的线段叫做基线. 实际问题画图数学问题解三角形 数学问题的 2.性质：在测量过程中，要根据实际需要选取合 解 实际问题的解. 适的，使测量具有较高的 2.解三角形应用题的步骤 .一般来说，基线越长，测量的精确度越 (1)准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理 . 解应用题中的有关名词和术语. (2)画出示意图，并将已知条件在图形中标出， 要点二在测量中的专业术语与含义 (3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三 1.坡角：坡面与水平面的夹角，如图1中的角 角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确 视线 求解，并作答. 仰角 水平线 线 俯角 (4)还原为实际问题，注意实际问题中的有关 单位，近似计算的要求等 视线 >思考：正弦定理、余弦定理能帮助我们解决哪 图1 图2 些类型的测量问题? 2.仰角和俯角：在同一铅垂平面内的视线和水平 线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角， 视线在水平线下方的角叫俯角，如图2所示. 3.方位角：指从方向转到目标方向 线所成的角.如图3所示，点B的方位角为a. 北 西 析 $$6 0 ^ { \circ }$$ α 西 东 判断正误，正确的画“、”，错误的画“×”. (1)精确度的高低与基线的长短无关.() 南 南 (2)两个不可到达的点之间的距离无法求得. 图3 图4 () 4.方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小 (3)方位角和方向角是一样的. () 于 $$9 0 ^ { \circ }$$ 的水平角，如南偏西 $$6 0 ^ { \circ } ，$$ ，指以正南方向 (4)从A处望B处的仰角为 α， ，从B处望A处 为始边，顺时针方向向西旋转 $$6 0 ^ { \circ } ，$$ 如图4所示. 的俯角为 β， ，则 $$\alpha + \beta = 9 0 ^ { \circ } .$$ () ·35· 数学必修第二册课堂学案 关键能力·素养提升 答案见Pn 探究一 测量距离问题 【变式1】如图，设A,B两点在河的两岸，一测量 者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出 解题技巧 AC的距离为50m,∠ACB=45°，∠CAB= 当A,B两点之间的距离不能直接测量时， 105°后，就可以计算出A,B两点间的距离为 求AB的距离常见的类型。 () (1)两点间可视但不可到达（如图1）：可选取 与B同侧的点C,测出BC=a以及∠ABC 和∠ACB,先使用内角和定理求出∠BAC, 再利用正弦定理求出AB; (2)两点都不可到达（如图2）：在河边测量对 A.502 m B.503 m 岸两个建筑物之间的距离，可先在一侧选取 两点C,D,测出CD=m,∠ACB,∠BCD, C.252 m D252 2 m ∠ADC,∠ADB,再在△BCD中求出BC,在 △ADC中求出AC,最后在△ABC中，用余 探究二 测量高度问题 弦定理求出AB. 误区防错 解决测量高度问题时的注意点 (1)要清楚仰角与俯角的区别及联系. 2 (2)测量底部不能到达的建筑物的高度问 题，一般是转化为直角三角形模型，但在某 【例题1】如图，为了测量河对岸A,B两点间的距 些情况下，仍需根据正、余弦定理解决 离，在岸边定一基线CD,现已测出CD=a和 (3)要注意“空间”向“平面”的转化：测量高 ∠ACD=60°，∠BCD=30°，∠BDC=105, 度问题往往是空间中的问题，因此要先选好 ∠ADC=60°，则A,B两点间的距离为 所求线段所在的平面，将空间问题转化为平 (用含a的式子表示). 面问题。 (4)注意“解直角三角形”与“解斜三角形”的 结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题 思路 【例题2】如图，小明同学为了估算某教堂的高 度，在该教堂的正东方向找到一座建筑物 AB,高度为15(W3一1)m,在它们之间的地面 上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A 和教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶 36 第六章平面向量及其应用 A处测得教堂顶C的仰角为30°，则小明估算 离为45km,若小艇与运动员同时出发，要追 该教堂的高度为 m 上这位运动员： 1北 (1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这 位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与 AB的夹角， 【变式2】厦门双子塔是厦门的新地标，两栋独立 的塔楼与裙楼相连，外观形似风帆，并融入了 厦门市