6.2 平面向量的运算（五大重难点题型精讲)-【冲刺满分】2023-2024学年高一数学重难点突破+分层训练同步精讲练（人教A版2019必修第二册）

6.2 平面向量的运算 、 知识点一．向量的线性运算和向量共线定理 （1）向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则平行四边形法则 ①交换律 ②结合律 减法 求与的相反向量的和的运算叫做与的差 三角形法则 数乘 求实数与向量的积的运算 （1） （2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相同； 当时， 【注意】 （1）向量表达式中的零向量写成，而不能写成0． （2）两个向量共线要区别与两条直线共线，两个向量共线满足的条件是：两个向量所在直线平行或重合，而在直线中，两条直线重合与平行是两种不同的关系． （3）要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件． （4）向量加法和减法几何运算应该更广泛、灵活如：，，． 知识点2　共线向量定理、平面向量基本定理及应用 1．向量共线的判定定理和性质定理 (1)判定定理：a是一个非零向量，若存在一个实数λ使得b＝λa，则向量b与a共线． (2)性质定理：若向量b与非零向量a共线，则存在唯一一个实数λ，使得b＝λa. (3)A，B，C是平面上三点并且在同一条直线上，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得________(如图所示)． 【解题方法总结】 （1）向量的三角形法则适用于任意两个向量的加法，并且可以推广到两个以上的非零向量相加，称为多边形法则．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． 即． （2），当且仅当至少有一个为时，向量不等式的等号成立． （3）特别地：或当且仅当至少有一个为时或者两向量共线时，向量不等式的等号成立． （4）减法公式：，常用于向量式的化简． （5）、、三点共线，这是直线的向量式方程． 重难点题型一：平面向量的加法、减法与数乘 例1．（2023上·黑龙江·高二统考学业考试）如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 例2．（2023·云南·高二学业考试）化简得（    ） A． B． C． D． 例3．（2022·高一课时练习）（多选题）已知点D，E，F分别是的边，，的中点，则下列等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2023·全国·高一随堂练习）化简： （1） ；            （2） ； （3） ；            （4） ． 变式训练1．（2023下·北京·高二统考学业考试）如图，四边形是菱形，下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 变式训练2．（2023下·陕西西安·高一阶段练习）（多选题）下列式子可以化简为的是（    ） A． B． C． D． 变式训练3．（2022上·北京·高一北京市第一六一中学校考阶段练习）化简： . 变式训练4．（2023下·全国·高一专题练习）如图，正六边形ABCDEF中，则（    ）    A． B． C． D． 重难点题型二：平面向量的模与数量积 例5．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 例6．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则（   ） A．9 B．12 C．15 D．16 例7．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知单位向量满足，则 . 例8．（2024上·广东·高三广东华侨中学校联考期末）已知，，且，则在上的投影向量为 . 变式训练5．（2024·广东肇庆·统考模拟预测）已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（    ） A．2 B． C．2或 D．3或 变式训练6．（2024上·广东深圳·高三统考期末）（多选题）已知是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．在上的投影向量为 变式训练7．（2024上·江苏连云港·高二统考期末）已知向量，，，，若，则与的夹角为 . 变式训练8．（2024上·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知，且满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 重难点题型三：平面向量的线性表示 例9．（2024上·辽宁葫芦岛·高