第三单元圆柱与圆锥第4课时圆锥（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学人教版

第三单元 圆柱与圆锥 第4课时 圆锥 一、学习目标 1、认识圆锥，掌握圆锥的特征，知道圆锥各部分的名称。（重点） 2、理解和掌握圆锥体积的计算公式，并能运用公式解决简单的实际问题。（重难点） 3、经历猜测、验证的数学发现过程，培养乐于学习、勇于探究的数学情感。 二、知识点梳理 温故而知新 1、圆的特征：圆有无数条对称轴。 2、圆柱的特征，圆柱的体积计算公式：V=Sh。 知识点一 圆锥各部分的名称和特征 问题 （1）上图中这些物体的形状有什么共同的特点？你还见过哪些这种形状的物体？ （2）拿一个圆锥形的物体，观察它有哪些特征。 （3）怎样测量圆锥的高？拿一个圆锥形物体，试着测量它的高。 （4）把一张直角三角形硬纸的一条直角边贴在木棒上，快速转动木棒，看看转出来是什么形状。 讲解 （1）这些物体的形状都是圆锥体。生活中还有很多圆锥形的物体，如漏斗、跳棋、陀螺等。 （2）圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面，侧面展开图是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。 （3）测量圆锥的高的方法： ①把圆锥的底面放平。 ②把一块平板水平地放在圆锥的顶点上面。 ③平板和底面之间的距离就是圆锥的高。 （4）转动起来是一个圆锥。直角三角形贴在木棒上的直角边是旋转而成的圆锥的高，另一条直角边是圆锥底面的半径。 知识点二 圆锥体积的计算公式 问题 我们已经会计算圆柱的体积，如何计算圆锥的体积呢？ 运用试验法探究圆锥的体积计算公式。 试验准备： 等底、等高的圆柱和圆锥形容器及一些细沙和水。 试验过程： 方法一：用倒水的方法来验证。 将圆柱形容器装满水，倒入与圆柱等底、等高的圆锥形容器中，看一看能倒满几次。 将圆柱容器中的水倒 将圆柱形容器中的的水接 将圆柱形容器中的水接着 入空的圆锥形容器中， 着倒入空的圆锥形容器中， 倒入空的圆锥形容器中， 能倒满一次 能倒满第二次 能倒满第三次 方法二：用倒沙子的方法来验证。 将圆锥形容器装满沙子，倒入与圆锥等底、等高的圆柱形容器中，看一看倒几次能正好倒满。 把圆锥形容器中装满 把圆锥形容器中装满 把圆锥形容器中装满的 的沙子倒入空的圆柱 的沙子倒入圆柱形容 沙子倒入圆柱形容器中， 形容器中 器中 三次正好倒满 试验总结：通过试验可以发现，等底、等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是圆柱体积的。 试验结论： 圆锥的体积＝与它等底、等高的圆柱的体积×＝底面积×高× V圆锥＝V圆柱＝ Sh 公式 要求圆锥的体积，必须知道它的底面积和高。在计算过程中，如果已知圆锥底面的任何一个条件和高，运用下面的公式，可求出它的体积。 （1）已知底面半径r：V＝ πr2h （2）已知底面直径d：V＝ π(d÷2)2h （3）已知底面周长C：V＝ π(C÷2÷π)2h 知识点三 圆锥体积计算公式的应用 问题 工地上有一堆沙子，近似于一个圆锥（如下图）。这堆沙子的体积大约是多少？如果每立方米沙子中1.5 t，这堆沙子大约重多少吨？（得数保留两位小数） 讲解 沙堆底面积：3.14×(4÷2)＝3.14×4＝12.56（m2） 沙堆的体积： ×12.56×1.2＝5.024≈5.02（m3） 沙堆的质量：5.02×1.5＝7.53（t） 答：这堆沙子的体积大约是5.02 m3，大约重7.53 t。 三、典型例题 例1 小麦丰收了，小丽的爸爸高兴得合不拢嘴。看着场院中近似于圆锥形的小麦堆，他拿卷尺量了量小麦堆，量得底面周长是9.42 m，高是1.2 m。这个小麦堆的体积是多少？ 解：9.42×(2×3.14)＝1.5（m） 3.14×1.52＝3.14×2.25＝7.065（m2） ×7.065×1.2＝2.826（m3） 答：这个小麦堆的体积是2.826 m3。 例2 一个圆柱的底面周长是12.56 dm，高是4.5 dm。将它削成最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方分米？ 解：圆柱的体积：3.14×(12.56÷2÷3.14)2×4.5＝56.52（dm3） 削成的最大圆锥和圆柱等底等高，削成的最大圆锥的体积：56.52× ＝18.84（dm3） 削去部分的体积：56.52－18.84＝37.68（dm3） 答：削去部分的体积是37.68 dm3. 例3 一个圆柱与一个圆锥的体积和高分别相等，已知圆锥的底面面积是28.26 cm2，圆柱的底面积是多少？ 解：28.26× ＝9.42（cm2） 答：圆柱的底面积是9.42 cm2。 例4 判断：圆柱的体积是圆锥体积的3倍。（ ） 解：× 等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积等于圆