导数应用（二）解答题专项训练-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数应用（二） 1、 隐零点问题 1.已知． (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求整数a的最小值． 2.已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 3.已知函数． (1)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，若，求的最小值． 4.已知函数 (1)若求的极值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 5.已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 6.已知函数. （1）证明：，； （2）判断的零点个数，并给出证明过程. 7.已知函数． （Ⅰ）若1是函数的一个极值点，求的单调递减区间； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下证明：. 2、 两个零点问题 8.设，函数， （1）讨论的单调性； （2）若有两个相异零点，求证. 9. 已知函数有两个不同的极值点x1，x2，且x1＜x2． （1）求实数a的取值范围； （2）求证：x1x2＜a2． 10.已知函数． （1）当时，判断函数的单调性； （2）若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围，并证明． 三、极值点偏移 以函数为例，极值点为0，函数的零点分别为1和-1，我们计算也就是说极值点刚好位于两个零点的中点处，此时我们称极值点相对中点不偏移。 看如下图形： 题型：函数的极值点为，函数的零点为，然后证明： 方法与步骤：构造差函数或； 研究函数的单调性； 结合，判断的符号，从而确定与的大小关系; 由可得或者； 结合的单调性得到或者，从而或 11. 已知函数. （1）试讨论的单调区间； （2）若时，函数的图像与轴交于两点，且，求证：. 12.已知函数，其中，函数，其中为自然对数的底数. （I）判断函数的单调性； （II）设 是函数的两个零点，求证：. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数应用（二） 1、 隐零点问题 1.已知． (1)讨论的单调性； (2)若对恒成立，求整数a的最小值． 【详解】（1）的定义域为， （ⅰ）当时，，∴在上单调递增； （ⅱ）当时，令， 令， ∴当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由，可得：， ∵，∴原命题等价于对恒成立． 令，∴， 令，∴，∴在上单调递增． 又， 故存在唯一的，使得． 当时，，∴， ∴在上单调递增， 当时，，∴， ∴在上单调递减． ∴， ∴时，恒成立． ∴，又，∴a的最小整数值为2． 2.已知函数． (1)若曲线在处的切线经过点，求实数a的值； (2)若对任意，都有（e为自然对数的底），求证：． 【解析】(1)，所以，，    所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线经过点，所以，解得． (2)设，则，    设，则， 因为在上递增， 所以当时，，当时， 所以在上递减，在上递增， 所以，    令，则 所以在递减， 因为，所以，所以． 3.已知函数． (1)若对任意实数，都有恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，若，求的最小值． 解：（1）当时，，不满足对任意实数，都有恒成立； 当时，， 令，则 所以函数单调递减， 由于，， 所以存在唯一零点，使得 ， 所以当时，单调递增，当 时，单调递减， 所以 令， ， 故在定义域内是的单调函数， 由于，所以的解集为 ， 所以，即实数a的取值范围是 (2)当时，， 由， 所以， 所以， 令，则，即 ， 令 令 所以时，， 单调递减， 时， ， 单调递增， 由于， 所以在上有唯一的零点 ，且满足 ， 所以，所以，当且仅当 时等号成立. 4.已知函数 (1)若求的极值； (2)若恒成立，求实数a的取值范围. 【详解】（1）当， 令，解得， 则当单调递减，当单调递增， 故的极小值为，无极大值； （2）由题意可得 令则 当时，则时，，不合题意； 当时，设， ，， 所以存在时，， 因为，所以在上单调递增， 所以当，；当，， 则当，；当，， 则在单调递减，在单调递增， 所以 因为，所以，即 故解得 综上所述，实数a的取值范围 5.已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若不等式恒成立，求实数k的取值范围. 【详解】（1），定义域为， 则， 当时，恒成立，故， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时， 令， 当，即时，恒成立，故， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当，即时， 此时设的两根为，， 两根均大于0，且， 令得：或， 令得：， 故的单调递增区间为， 单调递减区间为； 综上：当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为， 单调递减区间为； （2）由于的定义域为， 可只需考虑时，不等式恒成立， 即，化简得：， 令，， 则， 令，，在上恒成立， 故在上单调递减， 因为，， 故存在，使得，即， 设，，则在上恒成立， 故在上单调递增，所以，即，