专题06 正方形的判定与性质重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优）-2023-2024学年八年级数学下册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题06 正方形的性质与判定重难点题型专训（15大题型+15道拓展培优） 【题型目录】 题型一 正方形的性质理解 题型二 根据正方形的性质求角度 题型三 根据正方形的性质求线段长 题型四 根据正方形的性质求面积 题型五 正方形折叠问题 题型六 根据正方形的性质证明 题型七 证明四边形是正方形 题型八 根据正方形的性质与判定求角度 题型九 根据正方形的性质与判定求线段长 题型十 根据正方形的性质与判定求面积 题型十一 根据正方形的性质与判定证明 题型十二 中点四边形 题型十三 （特殊）平行四边形的动点问题 题型十四 四边形中的线段最值问题 题型十五 四边形的其他综合问题 【知识梳理】 知识点1：正方形的概念与性质 1.概念：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 2.性质： （1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质 （2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等 （3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角 （4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴 （5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形 （6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。 知识点2：正方形的判定 （1）有一个角是直角的菱形是正方形； （2）对角线相等的菱形是正方形； （3）对角线互相垂直的矩形是正方形。 注意：判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形（或矩形），最后证明它是矩形（或菱形）。 【经典例题一 正方形的性质理解】 【例1】（2023上·陕西咸阳·九年级校考阶段练习）关于正方形性质的描述： ①既是轴对称图形，也是中心对称图形； ②对边平行且相等，四条边相等； ③四个角相等，且都等于； ④对角线互相垂直、平分且相等，每一条对角线都平分一组对角． 其中说法正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式训练】 1．（2023·全国·九年级专题练习）如图点为正方形对角线的交点，则将绕点旋转得到，则这种旋转方式是（ ） A．顺时针旋转 B．顺时针旋转 C．逆时针旋转 D．逆时针旋转 2．（2023下·辽宁丹东·七年级统考期末）如图，已知，是的平分线，将三角尺的直角顶点P放在射线上，两直角边分别与，交于点C，D，垂足为点N，，则四边形的面积为 ．      3．（2023上·江西新余·九年级统考期末）如图，点是正方形的边上一点，将顺时针旋转至的位置．    (1)旋转中心是 点，旋转角度是 度； (2)若正方形边长为6，，求的长． 【经典例题二 根据正方形的性质求角度】 【例2】（2023下·浙江·八年级专题练习）如图，为正方形外一点，且是等边三角形，的度数为（　　）    A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2022下·湖北宜昌·八年级校考期中）如图，在正方形中，点F为上的一点，与交于点E．若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2023上·重庆九龙坡·七年级重庆市育才中学校考期中）在正方形中，点M在上，将沿着翻折到，连、．若，则的度数为 ．    3．（2023上·广西防城港·九年级统考期中）如图，是正方形的对角线，经过旋转后到达的位置．    (1)填空：旋转中心是点 ，点A、B的对应点分别是点 和 ； (2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度； (3)请在图中连接，求的度数． 【经典例题三 根据正方形的性质求线段长】 【例3】（2024上·四川成都·九年级统考期末）如图，在正方形中，分别以为圆心，以相同长度为半径作弧相交于点，作射线交对角线于点，若，则（    ）．    A． B． C．2 D． 【变式训练】 1．（2023上·福建漳州·九年级统考期末）如图，在中，，，分别以，为边向外作正方形和正方形，连接，当取最大值时，的长是（    ） A．4 B． C． D． 2．（2024上·四川绵阳·九年级统考期末）如图，正方形内点P到A，B，C三点的距离分别为，，，则度数是 ． 3．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在四边形中，O是边上的一点．若，则O叫做该四边形的“等形点”．      (1)正方形________“等形点”（填“存在”或“不存在”）； (2)如图1，在四边形中，边上的O是四边形的“等形点”．已知，，，连接，求的长； (3)如图2，在四边形EFGH中，．若边上的O是四边形的“等形点”，求． 【经典例题四 根据正方形的性质求面积】 【例4】（2023上·江西宜春·九年级宜春市第三中学校联考期中）如图，正方形和正方形的边长都是2，正方形绕点O旋转时，两个正方形重叠部分的面积是（    ）