2不定方程与不定方程组（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学北师大版

授课主题 不定方程与不定方程组 知 识 梳 理 一、不定方程基本定义 1、定义：不定方程（组）是指未知数的个数多于方程个数的方程（组）。 2、不定方程的解：使不定方程等号两端相等的未知数的值叫不定方程的解，不定方程的解不唯一。 3、研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解；②有解时确定解的个数；③求出所有的解 二、不定方程的试值技巧 1、奇偶性 2、整除的特点（能被2、3、5等数字整除的特性） 3、余数性质的应用（和、差、积的性质及同余的性质） 三、运用不定方程解应用题步骤 1、根据题目叙述找到等量关系列出方程 2、根据解不定方程方法解方程 3、找到符合条件的解 例题精讲 模块一、利用整除性质解不定方程 【例 1】 求方程 2x－3y＝8的整数解 【解析】 方法一：由原方程，易得 2x＝8＋3y，x＝4＋y，因此，对y的任意一个值，都有一个x与之对应，并且，此时x与y的值必定满足原方程，故这样的x与y是原方程的一组解，即原方程的解可表为：，其中k为任意数．说明 由y取值的任意性，可知上述不定方程有无穷多组解． 方法二：根据奇偶性知道2x是偶数，8为偶数，所以若想2x－3y＝8成立，y必为偶数， 当y＝0，x＝4；当y＝2，x＝7；当y＝4，x＝10……，本题有无穷多个解。 【答案】无穷多个解 【例 2】 求方程4x＋10y＝34的正整数解 【解析】 因为4与10的最大公约数为2，而2|34，两边约去2后，得 2x＋5y＝17，5y的个位是0或5两种情况，2x是偶数，要想和为17，5y的个位只能是5，y为奇数即可；2x的个位为2，所以x的取值为1、6、11、16…… x＝1时，17－2x＝15，y＝3， x＝6时，17－2x＝ 5，y＝1， x＝11时，17－2x＝17 －22，无解 所以方程有两组整数解为： 【答案】 模块二、利用余数性质解不定方程 【例 3】 求不定方程的正整数解有多少组？ 【解析】 本题无论或是，情况都较多，故不可能逐一试验．检验可知1288是7的倍数，所以也是7的倍数，则是7的倍数． 设，原方程可变为，可以为1，2，3，……16．由于每一个的值都确定了原方程的一组正整数解，所以原方程共有16组正整数解． 【答案】16组 模块三、解不定方程组 【例 4】 解方程 （ 其中a、b、c均为正整数 ） 【解析】 根据等式的性质将第一个方程整理得，根据消元的思想将第二个式子扩大4倍相减后为：，整理后得，根据等式性质，为偶数，20为偶数，所以为偶数，所以为偶数，当时，，，所以，当时，，，所以无解。所以方程解为 【答案】 模块四、不定方程与数论 【例 5】 把拆成两个正整数的和，一个是的倍数（要尽量小），一个是的倍数（要尽量大），求这两个数． 【解析】 这是一道整数分拆的常规题．可设拆成的两个数分别为和，则有：，要让取最小值，取最大值． 可把式子变形为：，可见是整数，满足这一条件的最小为7，且当时，． 则拆成的两个数分别是和． 【答案】则拆成的两个数分别是和． 模块五、不定方程与应用题 【例 6】 有两种不同规格的油桶若干个，大的能装千克油，小的能装千克油，千克油恰好装满这些油桶．问：大、小油桶各几个？ 【解析】 设有大油桶个，小油桶个．由题意得： 可知，所以．由于、必须为整数，所以相应的将的所有可能值代入方程，可得时，这一组整数解． 所以大油桶有个，小油桶有个． 小结：这道题在解答时，也可联系数论的知识，注意到能被5整除的数的特点，便可轻松求解. 【答案】大油桶有个，小油桶有个 【例 7】 在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次．“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以，让冬冬把自己命中的次数乘以，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数．你知道丁丁和冬冬各命中几次吗？ 【解析】 设丁丁和冬冬分别命中了次和次，则：．可见除以4的余数为3，而且不能超过6，所以，．即丁丁命中了次，冬冬命中了次． 【答案】丁丁命中了次，冬冬命中了次 【例 8】 某次聚餐，每一位男宾付元，每一位女宾付元，每带一个孩子付元，现在有的成人各带一个孩子，总共收了元，问：这个活动共有多少人参加(成人和孩子)？ 【解析】 设参加的男宾有人，女宾有人，则由题意得方程：，即，化简得．这个方程有四组解：，，和， 但是由于有的成人带着孩子，所以能被整除，检验可知只有后两组满足． 所以，这个活动共有人或人参加． 【答案】这个活动共有人或人参加 【例 9】 张师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，李师傅每天能缝制件上衣，或者件裙裤，两人天共缝制上衣和裙裤件，那么其中上衣是多少件？ 【解析】 如果天都缝制上衣，共可